[论文解读] Generalised Lebesgue Stable Flux Reconstruction

Will Trojak|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文提出广义勒贝格稳定通量重构（GLSFR），一种新型校正函数族，用于通量重构方法，可在勒贝格范数下确保能量稳定性，从而实现高度任意但稳定的格式。通过冯·诺依曼分析和湍流泰勒-格林涡流模拟，结果表明GLSFR在动能耗散误差方面优于节点型DG方法，最优校正函数在细化网格上可将误差降低高达30%。

ABSTRACT

A unique set of correction functions for Flux Reconstruction is presented, with there derivation stemming from proving the existence of energy stability in the Lebesgue norm. The set is shown to be incredibly arbitrary with the only union to existing correction function sets being show to be for DG. Von Neumann analysis of both advection and coupled advection-diffusion is used to show that once coupled to a temporal integration method, good CFL performance can be achieved and the correction function may have better dispersion and dissipation for application to implicit LES. Lastly, the turbulent Taylor-Green vortex test case is then used to show that correction functions can be found that improve the accuracy of the scheme when compared to the error levels of Discontinuous Galerkin.

研究动机与目标

• 为解决通量重构（FR）方法中稳定校正函数的不完整理解，特别是针对非标准或非DG配置的情况。
• 推导出一类新的校正函数，确保在勒贝格范数下的能量稳定性，超越现有框架。
• 评估这些任意校正函数在与龙格-库塔时间积分耦合时是否能保持质量守恒和时间稳定性。
• 评估GLSFR在湍流模拟中的实际性能，特别是其在准确捕捉动能耗散方面的表现。
• 确定GLSFR是否能在真实流体动力学应用中超越标准节点型DG方法通过FR实现的性能。

提出的方法

• 改用勒贝格范数而非索伯列夫范数来推导FR格式的能量稳定性，简化稳定性证明，并允许更广泛的校正函数族。
• 定义满足边界条件 $ h_L(-1)=1, h_L(1)=0 $ 和 $ h_R(-1)=0, h_R(1)=1 $ 的校正函数 $ h_L $ 和 $ h_R $，同时确保勒贝格稳定性。
• 对线性对流和对流-扩散方程应用冯·诺依曼分析，评估在龙格-库塔时间积分下的时间稳定性及色散/耗散特性。
• 使用雷诺数为 $ Re = 1600 $ 的不可压缩湍流泰勒-格林涡流，评估时间平均动能耗散率与DNS数据的误差。
• 系统性地改变校正函数参数（如 $ h_{l1} $，$ ilde{h}_{l0} $）以识别最小化耗散误差的最优配置。
• 将GLSFR结果与使用相同网格分辨率和时间步长的节点型DG通过FR的结果进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在勒贝格范数下为FR方法中更广泛的校正函数类建立能量稳定性，超越现有已知集合？
• RQ2 所推导的校正函数族在与显式龙格-库塔时间积分耦合时，是否能保持质量守恒和时间稳定性？
• RQ3 GLSFR校正函数是否能在高阶模拟中，相比通过FR实现的节点型DG方法，降低湍流动能耗散的误差？
• RQ4 是否存在特定校正函数参数，可提供更优的色散和耗散特性，适用于隐式LES？
• RQ5 GLSFR的性能改进是否在不同网格分辨率的湍流问题中保持一致？

主要发现

• GLSFR框架建立了一类新的校正函数，具有勒贝格稳定性，且扩展了现有稳定集合，仅与通过FR实现的节点型DG在交集中重合。
• 冯·诺依曼分析证实，在使用龙格-库塔时间积分时，迎风和中心通量界面均存在时间稳定区域，支持实际应用。
• 在 $ 24^3 $ 网格上，最优GLSFR校正函数相比通过FR实现的节点型DG，将湍流动能耗散误差降低了高达30%。
• 在 $ 16^3 $ 和 $ 24^3 $ 网格上，GLSFR校正函数均位于参数空间中一致的性能更优区域，优于节点型DG在误差最小化方面的表现。
• 最优校正函数位于 $ ilde{h}_{l0} $ 的左半平面，表明更少耗散的格式更有利于最小化误差，这与CFL稳定性趋势相反。
• 在湍流结构形成的关键过渡阶段（$ t \approx 7.5 $），GLSFR对动能耗散率的匹配优于DG方法，尤其在更高分辨率下表现更优。