[论文解读] Generalised symplectic Schubert classes

Thomas Hudson|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过 Bott-Samelson 分解计算了辛格鲁伯曼流形的代数 cobordism 基本类，建立了可特化为连通 K-理论与 Chow 上同调的通用公式。它利用形式群律与广义双 Schubert 多项式，提供了显式的 Schubert 类公式，将 Fulton 的方法推广至具有通用性质的定向上同调理论。

ABSTRACT

Under the assumption that the base field k has characteristic 0, we compute the algebraic cobordism fundamental classes of a family of Schubert varieties isomorphic to full and symplectic flag bundles. We use this computation to prove a formula for the push-forward class of the Bott-Samelson resolutions associated to the symplectic flag bundle. We specialise our formula to connective K-theory and the Grothendieck ring of vector bundles, hence obtaining a description for all Schubert classes.

研究动机与目标

• 计算特征为 0 的域上辛旗丛中最小 Schubert 流形的代数 cobordism 基本类。
• 将 Fulton 的 Schubert 类递归方法推广至代数 cobordism 的通用设定。
• 通过嵌套旗丛上的归纳技术，推导出辛旗丛中 Bott-Samelson 分解的上推公式。
• 将通用 cobordism 公式特化至连通 K-理论与 Grothendieck 环，得到显式的 Schubert 类表达式。

提出的方法

• 在嵌套的辛旗丛族上进行基本类的归纳计算，从最小的 Schubert 流形开始。
• 将 Bott-Samelson 分解用作 Schubert 流形的去奇异化，计算代数 cobordism 中的上推。
• 利用通用形式群律与代数 cobordism 的形式逆，表达上推公式中 Chern 类的行为。
• 通过 Weyl 群结构与最长元素的最小分解，推导出广义 Schubert 多项式。
• 通过参数 β 将通用公式特化至连通 K-理论，定义了一类新的 Schubert 多项式。
• 应用基变换与横截性论证，关联连续分解与旗丛之间的上推。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在代数 cobordism 中计算辛旗丛中最小 Schubert 流形的基本类？
• RQ2 Bott-Samelson 分解的上推是否可在所有定向上同调理论中以通用形式表达？
• RQ3 从代数 cobordism 衍生出的连通 K-理论中 Schubert 类公式的结构是什么？
• RQ4 在连通 K-理论中得到的 Schubert 多项式与 Chow 上同调和 Grothendieck K-理论中的多形式有何关系？
• RQ5 是否存在一种统一的、依赖于辛丛秩的参数化 Schubert 类描述？

主要发现

• 代数 cobordism 中辛旗丛 $\mathcal{F}\ell^{\text{C}}V_m$ 的基本类由形式群律运算在 Chern 类上的乘积给出：$[\mathcal{F}\ell^{\text{C}}V_m]_{\Omega} = \prod_{i+j\leq n,\,1\leq j\leq n-m} F_{\Omega}(x_i, \chi_{\Omega}(y_j)) \cdot \prod_{\cdots}$。
• Bott-Samelson 分解 $\mathcal{R}_I$ 在代数 cobordism 中的上推类通过横截性与归纳法计算，得到 $\mathcal{R}_I = \overline{A_j}(\mathcal{S}\mathfrak{B}^{(n)}_{I'}(c_1(M_k^{(n)}), c_1(L_j^\vee)))$。
• 在连通 K-理论中，Schubert 类 $[\Omega_w^{(n)}]_{CK}$ 由 $\mathcal{S}\mathfrak{H}_w^{(n)}(c_1(M_i^{(n)}), c_1(L_j^\vee))$ 给出，其中 $\mathcal{S}\mathfrak{H}_w^{(n)}$ 是含参数 β 的广义双 Schubert 多项式。
• Chow 上同调类 $[\Omega_w^{(n)}]_{CH}$ 通过在连通 K-理论公式中令 β = 0 得到，结果为 $\mathcal{S}\mathfrak{S}_w^{(n)}(c_1(M_i^{(n)}), c_1(L_j^\vee))$。
• Grothendieck K-理论类 $[\mathcal{O}_{\Omega_w^{(n)}}]_{K^0}$ 通过令 β = -1 得到，结果为 $\mathcal{S}\mathfrak{G}_w^{(n)}(c_1(M_i^{(n)}), c_1(L_j^\vee))$。
• Schubert 多项式 $\mathcal{S}\mathfrak{H}_w^{(n)}$ 显式依赖于 n，不存在与秩无关的统一描述——例如，$\mathcal{S}\mathfrak{S}_{(\overline{1},1)}^{(1)} = -x_1 + y_1$，但 $\mathcal{S}\mathfrak{S}_{(\overline{1},1)}^{(2)} = -x_1 - x_2 + y_1 + y_2$。