[论文解读] Generalising tractable VCSPs defined by symmetric tournament pair multimorphisms

Vladimir Kolmogorov, Stanislav Živný|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2010

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 17被引用 6

一句话总结

该论文通过引入混合多态框架，将可 tractable 的加权约束满足问题（VCSP）进行推广：在子域上满足MJN多态性、在补集上满足STP（对称锦标赛对）多态性的语言被证明是可 tractable 的。该方法通过强3一致性约束强化，将此类问题约化为STP可追踪实例，从而利用现有的子模最小化技术实现多项式时间求解。

ABSTRACT

We study optimisation problems that can be formulated as valued constraint satisfaction problems (VCSP). A problem from VCSP is characterised by a \emph{constraint language}, a fixed set of cost functions taking finite and infinite costs over a finite domain. An instance of the problem is specified by a sum of cost functions from the language and the goal is to minimise the sum. We are interested in \emph{tractable} constraint languages; that is, languages that give rise to VCSP instances solvable in polynomial time. Cohen et al. (AIJ'06) have shown that constraint languages that admit the MJN multimorphism are tractable. Moreover, using a minimisation algorithm for submodular functions, Cohen et al. (TCS'08) have shown that constraint languages that admit an STP (symmetric tournament pair) multimorphism are tractable. We generalise these results by showing that languages admitting the MJN multimorphism on a subdomain and an STP multimorphisms on the complement of the subdomain are tractable. The algorithm is a reduction to the algorithm for languages admitting an STP multimorphism.

研究动机与目标

• 将已知的VCSP可 tractability 结果推广至单一多态类型之外。
• 识别出在混合多态结构下仍保持可 tractable 的更广泛约束语言类别。
• 为具有混合MJN与STP多态性的VCSP实例提供一个多项式时间算法。
• 在加权约束满足的背景下，统一并推广先前关于MJN与STP多态性的结果。

提出的方法

• 对输入的VCSP实例强制执行强3一致性，以简化其结构。
• 将定义域划分为一个子域，其中MJN多态性适用，以及一个补集，其中STP多态性适用。
• 在一致性约束之后，问题被约化为一个具有STP多态性的等价实例。
• 该约化依赖于通过修改一元和二元代价函数构造新实例，以保持解的等价性。
• 算法使用一个精心选择的大常数C，在约化过程中模拟特定于定义域的代价行为。
• 通过在变量赋值之间的汉明距离上进行归纳，利用多态性和多态性性质证明其正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 VCSP的可 tractability 结果能否推广至单一多态类型之外？
• RQ2 是否可以以一种保持多项式时间可解性的方式组合MJN与STP多态性？
• RQ3 如何将具有混合多态结构的约束语言约化为可 tractable 形式？
• RQ4 何种条件可确保混合多态结构仍产生可 tractable 的VCSP？

主要发现

• 在子域上满足MJN多态性、在补集上满足STP多态性的约束语言是可 tractable 的。
• 所提出的算法将此类问题约化为具有STP多态性的实例，从而可使用现有的子模最小化算法。
• 强3一致性约束已足够使问题约化为STP可追踪实例。
• 约化的正确性通过在赋值之间汉明距离上的归纳法证明，利用了多态性不变性。
• 通过使用大常数C精心构造的变换，保持了解的等价性。
• 该结果推广了先前关于MJN与STP多态性的可 tractability 结果，将二者统一于单一框架之下。