[论文解读] Generalization of C*-algebra methods via real positivity for operator and Banach algebras

David P. Blecher|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 55被引用 6

一句话总结

本文将基于正性的 C*-代数技术推广至算子代数和巴拿赫代数，采用一种新的实正性概念，使非自伴情形下的序理论与逼近单位成为可能。关键贡献是通过严格实正元素表征具有序列有界逼近单位（bai）的巴拿赫代数，将 Aarnes–Kadison 定理推广至非 C*-代数背景。

ABSTRACT

With Charles Read we have introduced and studied a new notion of (real) positivity in operator algebras, with an eye to extending certain C*-algebraic results and theories to more general algebras. As motivation note that the `completely' real positive maps on C*-algebras or operator systems are precisely the completely positive maps in the usual sense; however with real positivity one may develop a useful order theory for more general spaces and algebras. This is intimately connected to new relationships between an operator algebra and the C*-algebra it generates. We have continued this work together with Read, and also with Matthew Neal. Recently with Narutaka Ozawa we have investigated the parts of the theory that generalize further to Banach algebras. In the present paper we describe some of this work which is connected with generalizing various C*-algebraic techniques initiated by Richard V. Kadison. In particular Section 2 is in part a tribute to him in keeping with the occasion of this volume, and also discusses some of the origins of the theory of positivity (in our sense) in the setting of algebras, which the later parts of our paper develops further. The most recent work will be emphasized.

研究动机与目标

• 将 C*-代数技术——尤其是涉及正性和逼近单位的技术——从 C*-代数推广至一般的算子代数与巴拿赫代数。
• 利用实正性发展一种函数序理论，该理论推广了 C*-代数中的通常正性，并适用于非自伴代数。
• 建立巴拿赫代数或算子代数存在序列有界逼近单位（bai）的条件，使用实正元素。
• 通过实正性表征严格实正元素，将 Aarnes–Kadison 定理推广至巴拿赫代数。
• 通过实正性和巴拿赫代数的单位化，统一并扩展非 C*-代数背景下关于遗传子代数、理想与状态的结果。

提出的方法

• 在算子代数与巴拿赫代数中引入一种新的实正性概念，即若元素的实部在其生成的关联 C*-代数中为正，则该元素为实正。
• 利用巴拿赫代数 $ A $ 的单位化 $ B $，定义集合 $ \frak{F}_A^B $ 与 $ \frak{r}_A^B $，即位于 $ A $ 中且在 $ B $ 中为实正的元素，以研究逼近单位。
• 应用实正元素的函数演算，特别是序列 $ (x^{1/n}) $，以构造序列有界逼近单位。
• 将 $ A $ 中的内理想 $ D $ 表征为形如 $ \overline{zAz} $ 的形式，其中 $ z \in \frak{F}_D^B $，从而将理想结构与实正性联系起来。
• 证明巴拿赫代数 $ A $ 从 $ \frak{r}_A^B $ 拥有序列有界逼近单位当且仅当存在一个严格实正元素 $ x $，使得 $ A = \overline{xAx} $。
• 通过归约为酉情形并援引 [22] 与 [21] 中的早期结果，特别是针对无逼近单位的代数，将算子代数中的结果推广至巴拿赫代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，巴拿赫代数可由实正元素构造出序列有界逼近单位（bai）？
• RQ2 如何利用实正性将 C*-代数中严格正元素的概念推广至非 C*-代数背景？
• RQ3 巴拿赫代数中遗传子代数（HSAs）与形如 $ \overline{zAz} $ 的元素（其中 $ z $ 为单位化中的实正元素）之间有何关系？
• RQ4 能否使用实正性而非标准正性，将 Aarnes–Kadison 定理关于逼近单位的结果推广至巴拿赫代数？
• RQ5 巴拿赫代数 $ A $ 的单位化 $ B $ 在表征 $ A $ 中的实正元素与逼近单位方面起什么作用？

主要发现

• 巴拿赫代数 $ A $ 从 $ \frak{r}_A^B $ 拥有序列有界逼近单位（bai）当且仅当存在一个严格实正元素 $ x \in \frak{r}_A^B $，使得 $ A = \overline{xAx} $，从而推广了 Aarnes–Kadison 定理。
• 对于巴拿赫代数 $ A $ 的任意闭子代数 $ D $，若 $ D $ 从 $ \frak{F}_A^B $ 拥有 bai，则对任意紧子集 $ K \subset D $，存在 $ x \in \frak{F}_D^B $，使得 $ K \subset xDx \subset xAx $，从而将局部结构与实正性联系起来。
• 每个具有从 $ \frak{r}_A^B $ 出发的 bai 的巴拿赫代数 $ A $ 的可分内理想，均可表示为 $ \overline{zAz} $ 的形式，其中 $ z \in \frak{F}_A^B $，且此类理想可拥有可数个交换的 bai $ (z^{1/n}) $。
• 在单位化为 $ B $ 的巴拿赫代数 $ A $ 中，$ B $-遗传子代数（HSAs）恰好是形如 $ \overline{zAz} $ 的集合的递增并集的闭包，从而将 HSA 的结构理论推广至巴拿赫代数。
• 在算子代数情形下，严格实正元素的存在性等价于存在序列实正完全有界逼近单位（caI），且此类元素满足在双对偶中 $ s(x) = 1_{A^{**}} $。
• 由有限子集 $ G \subset E $ 与 $ n \in \mathbb{N} $ 索引的网 $ (z_G^{1/n}) $ 构成 $ \overline{EA} $ 中从 $ \frak{F}_A^B $ 出发的左 bai，表明若集合 $ E $ 有界且位于实正锥中，则由 $ E $ 生成的巴拿赫代数具有从 $ \frak{F}_A^B $ 出发的 bai。