[论文解读] Generalization of the Neville-Aitken Interpolation Algorithm on Grassmann Manifolds : Applications to Reduced Order Model

Rolando Mosquera, Abdallah El Hamidi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2019

Fractional Differential Equations Solutions被引用 4

一句话总结

该论文将Neville-Aitken插值算法推广至Grassmann流形，用于参数化PDE的降模态建模，通过测地线重心实现POD子空间的递归插值，无需参考点。在三个CFD应用中，包括涡激振荡和旋转体流场，该方法在精度和计算速度上均优于现有方法。

ABSTRACT

The interpolation on Grassmann manifolds in the framework of parametric evolution partial differential equations is presented. Interpolation points on the Grassmann manifold are the subspaces spanned by the POD bases of the available solutions corresponding to the chosen parameter values. The well-known Neville-Aitken's algorithm is extended to Grassmann manifold, where interpolation is performed in a recursive way via the geodesic barycenter of two points. The performances of the proposed method are illustrated through three independent CFD applications, namely: the Von Karman vortex shedding street, the lid-driven cavity with inflow and the flow induced by a rotating solid. The obtained numerical simulations are pertinent both in terms of the accuracy of results and the time computation.

研究动机与目标

• 解决在参数化PDE中，特别是在流体动力学中，对不同参数下POD子空间进行插值的挑战。
• 克服现有方法的局限性，如Amsallem & Farhat (2011) 和基于IDW的方法所要求的参考点或迭代最小化。
• 在Grassmann流形上开发一种直接、递归的插值算法，以提升降模态建模中的精度和计算效率。
• 在具有不同参数区间的多种流体动力学问题中，验证该方法的鲁棒性和性能。
• 提供一种可扩展、非侵入式的框架，用于在Grassmann流形上通过插值子空间实现实时参数化模拟求解预测。

提出的方法

• 通过用子空间之间的测地线重心计算替代线性插值，将经典Neville-Aitken算法推广至Grassmann流形。
• 将测地线重心用作递归插值步骤，确保在m维子空间流形上的Riemann一致性。
• 直接在Grassmann流形 $ G_m(H) $ 上执行插值，避免了对数映射方法中所需的固定参考点。
• 通过插值不同参数值对应的POD基，构建降模态模型（ROM），然后将全阶快照投影到插值后的子空间上。
• 在多个参数值上递归应用该方法，构建类似Neville-Aitken结构的分层插值树。
• 通过在三个CFD测试案例中使用投影误差和动力系统误差对方法进行验证，这些案例涵盖不同的雷诺数和流动构型。

实验结果

研究问题

• RQ1 Neville-Aitken插值算法能否推广至Grassmann流形，以实现在参数化PDE中POD子空间的高效且精确插值？
• RQ2 与Amsallem & Farhat (2011) 等参考方法相比，所提出方法在精度和计算成本方面表现如何？
• RQ3 插值过程中无需参考点是否能提升高维参数空间中的鲁棒性和收敛性？
• RQ4 递归测地线重心方法在具有复杂流动结构的多样化流体动力学构型中，能否有效保持精度？
• RQ5 该方法能否在涡激振荡和旋转体流场等瞬态、非线性问题中有效应用，并保持极低的计算开销？

主要发现

• 基于Grassmann流形的Neville-Aitken方法在投影误差方面优于Amsallem方法，波动速度的误差分别为1.874e-03（案例1）、2.457e-03（案例2）和2.141e-03（案例3）。
• 该方法在动力系统误差方面表现更优，误差值分别为2.108e-02（案例1）、1.817e-02（案例2）和1.474e-02（案例3），在所有测试案例中均优于Amsallem方法。
• 该方法消除了对参考点的需求，简化了实现过程，并避免了因参考子空间选择不当而引发的条件问题。
• 递归测地线重心计算实现了直接、非迭代的插值，相比基于IDW方法的固定点优化，显著降低了计算成本。
• 在所有三个CFD应用中——Von Karman涡激振荡、带流入的顶盖驱动腔流以及旋转固体流——插值后的ROM在不同参数值下均表现出高精度和稳定性。
• 降模态的时间系数与参考解高度吻合，证实了该方法在瞬态流中保持动态行为的能力。