[论文解读] Generalization of theorems of Griffiths and Steenbrink to hypersurfaces with ordinary double points

Alexandru Dimca, Morihiko Saito|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 25

一句话总结

本文将Griffiths与Steenbrink关于Hodge滤子与谱的定理推广至具有普通双重点（ODP）的超曲面，建立了补集与Milnor纤维上分次Hodge滤子的代数描述。证明了极点阶谱序列在$E_2$处退化，从而得到了Steenbrink谱与极点阶谱的显式公式，其表达式以Milnor数与奇点个数表示。

ABSTRACT

Let Y be a hypersurface in projective space having only ordinary double points as singularities. We prove a variant of a conjecture of L. Wotzlaw on an algebraic description of the graded quotients of the Hodge filtration on the top cohomology of the complement of Y except for certain degrees of the graded quotients, as well as its extension to the Milnor cohomology of a defining polynomial of Y for degrees a little bit lower than the middle. These partially generalize theorems of Griffiths and Steenbrink in the Y smooth case, and enable us to determine the structure of the pole order spectral sequence. We then get quite simple formulas for the Steenbrink and pole order spectra in this case, which cannot be extended even to the simple singularity case easily.

研究动机与目标

• 将Griffiths与Steenbrink定理由光滑超曲面推广至仅具有普通双重点（ODP）的超曲面，提供补集上上同调的Hodge滤子的代数描述。
• 将Hodge滤子描述推广至定义多项式在中间度附近的Milnor上同调，通过Thom–Sebastiani型定理克服技术障碍。
• 确定极点阶谱序列的结构，并在ODP情形下推导出Steenbrink谱与极点阶谱的显式公式。
• 证明在ODP假设下，极点阶滤子与Hodge滤子在低度范围内一致，从而实现谱序列的退化。

提出的方法

• 使用与定义多项式$f$的微分相关的Koszul复形$K_f^{ullet} = (\bigwedge^{ullet} \text{d}f)$，导出分次$R$-模${}^s\text{N}$、$M$与$M''$的构造。
• 应用Thom–Sebastiani定理，绕过将Steenbrink定理推广至非孤立奇点时的技术困难，从而实现向Milnor上同调的推广。
• 通过同构$\text{Gr}_F^p H^n(f^{-1}(1), \mathbb{C}) \cong (R/J)_{k-n-1}$（当$k/d \leq n/2$时），证明极点阶谱序列在$E_2$处退化，其中$J$为Jacobian理想。
• 通过恒等式$\dim M_k - \dim {}^s\text{N}_{k-d} = \gamma_k$推导谱公式，其中$\gamma_k$为$(t + \cdots + t^{d-1})^{n+1}$的系数。
• 利用$\{\dim M_k'\}$与$\{n_f^{0,\alpha}\}$在$k = d(n+1)/2$处的对称性，将证明简化为两种情形：$k/d \leq n/2 + 1/2$与$k/d = n/2 + 1$。
• 通过$\dim {}^s\text{N}_{nd/2}$显式计算$\text{Sp}^1(f)$与$\text{Sp}_P^1(f)$，并证明当$nd$为奇数时其值为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于仅具有ODP的超曲面$Y \subset \mathbb{P}^n$，其补集上同调$H^n(U, \mathbb{C})$的Hodge滤子能否被代数化，从而推广Griffiths定理？
• RQ2 对于此类超曲面，极点阶谱序列是否在$E_2$处退化？能否在低度范围内证明Hodge滤子与极点阶滤子一致？
• RQ3 在ODP情形下，Steenbrink谱与极点阶谱的显式公式是什么？它们如何依赖于奇点个数与$f$的次数？
• RQ4 在ODP条件下，Milnor上同调$H^n(f^{-1}(1), \mathbb{C})$的结构如何与Hodge滤子的分次部分相关联？
• RQ5 这些结果能否推广至ODP以外的奇点？在$A_k$等简单奇点情形下，存在哪些障碍？

主要发现

• 极点阶谱序列在仅具有普通双重点的超曲面上于$E_2$处退化，该结论通过Thom–Sebastiani定理与同构$\text{Gr}_F^p H^n(f^{-1}(1), \mathbb{C}) \cong (R/J)_{k-n-1}$（当$k/d \leq n/2$时）得以证明。
• Steenbrink谱由公式$\text{Sp}_P(f) = (t^{1/d} + \cdots + t^{(d-1)/d})^{n+1} - \sum_{nd/2 < k \leq nd/2 + d} {}^s\nu_k t^{k/d} - \sum_{k > nd/2 + d} ({}^s\nu_k - {}^s\nu_{k-d}) t^{k/d}$给出，其中${}^s\nu_k = \dim {}^s\text{N}_k$。
• 当$k = nd/2$时，项${}^s\nu_k - {}^s\nu_{k-d}$属于$[0, \tau_Y]$，其中$\tau_Y = \#\text{Sing}(Y)$，且当$nd$为奇数时其值为零。
• 在$k/d \leq n/2$范围内，$\lambda$-特征空间$H^n(f^{-1}(1), \mathbb{C})_{\mathbf{e}(-k/d)}$同构于$M_k = (R/J)_{k-n-1}$，且在此范围内$F$与$P$滤子一致。
• 谱$\text{Sp}^1(f)$为$\dim {}^s\text{N}_{nd/2} \cdot t^{n/2+1}$（当$nd$为偶数时），否则为0，且$\text{Sp}^0(f) = \text{Sp}(f) + \text{Sp}^1(f)$。
• 这些谱的公式难以直接推广至简单奇点（如$A_k$）的情形，因为当$k > 1$时，区间$[\widetilde{\alpha}_Y, n - \widetilde{\alpha}_Y]$内的谱数据变得显著复杂。