[论文解读] Generalizations of Ekeland-Hofer and Hofer-Zehnder symplectic capacities and applications

Rongrong Jin, Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2019

Finite Group Theory Research参考文献 48被引用 4

一句话总结

本文基于具有辛同胚的哈密顿边界值问题，引入了广义的辛容量，扩展了Ekeland-Hofer和Hofer-Zehnder容量。它建立了与非周期轨道相关的新型不变量，证明了凸超曲面上$Ψ$-特征曲线的存在性，并验证了广义Weinstein猜想与表示公式，其应用涵盖哈密顿动力系统与通过Gromov-Witten不变量得到的谱估计。

ABSTRACT

In this paper we construct analogues of Ekeland-Hofer and Hofer-Zehnder symplectic capacities based on a class of Hamiltonian boundary value problems motivated by Clarke's and Ekeland's work, and study generalizations of some important results about the original two capacities (for example, the famous Weinstein conjecture, representation formula for $c_{ m EH}$ and $c_{ m HZ}$, and a theorem by Evgeni Neduv).

研究动机与目标

• 将经典的Ekeland-Hofer与Hofer-Zehnder辛容量推广至具有辛同胚约束的非周期设置。
• 为接触型超曲面上的辛同胚建立广义Weinstein猜想。
• 通过哈密顿边界值问题上的变分方法构造新的辛不变量。
• 证明这些广义容量的表示公式与谱估计，并将其与Gromov-Witten不变量联系起来。

提出的方法

• 将$Ψ$-特征定义为满足$z(T) = \Psi z(0)$且对所有$t \in [0,T]$有$\dot{z}(t) \in \mathcal{L}_{\mathcal{S}}|_{z(t)}$的$C^1$曲线$z:[0,T] \to \mathcal{S}$。
• 通过适配非周期边界条件的变分框架，构造广义容量$c^\Psi_{\rm EH}$与$c^\Psi_{\rm HZ}$。
• 将Ekeland-Hofer与Hofer-Zehnder的经典可容许函数类与非共振条件推广至非周期情形。
• 使用次微分微积分与凸集$D$的Minkowski泛函$j_D$来建模边界动力学。
• 通过约束哈密顿系统上的临界点理论证明容量的有限性。
• 利用$C^0$-正则性与能量水平附近作用泛函的有界变差性，建立谱估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ekeland-Hofer与Hofer-Zehnder容量能否推广至具有辛同胚约束的非周期哈密顿系统？
• RQ2 对于任意$\Psi \in \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$，在$\mathbb{R}^{2n}$中的凸超曲面上是否存在$\Psi$-特征曲线？
• RQ3 是否存在类似于原始$c_{\rm EH}$与$c_{\rm HZ}$的广义容量表示公式？
• RQ4 这些广义容量如何与辛拓扑中的Gromov-Witten不变量及谱不变量相关联？
• RQ5 广义Weinstein猜想是否对接触型超曲面上的$\Psi$-特征曲线成立？

主要发现

• 广义容量$c^\Psi_{\rm HZ}(D_0, \omega_0)$是有限的，并且其表示公式涉及$Ψ$-特征曲线的最小周期。
• 对任意$\Psi \in \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$，在具有非空内部的紧凸集$D$的边界$\mathcal{S}$上存在非平凡的$\Psi$-特征曲线。
• 广义Weinstein猜想成立：$\mathbb{R}^{2n}$中的每个接触型超曲面，对任意$\Psi \in \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$，均支持一条$\Psi$-特征曲线。
• $c^\Psi_{\rm HZ}$满足$C^0$-正则性估计：对小的$\epsilon$，有$\mathfrak{C}(\epsilon) \leq c^\Psi_{\rm HZ}(D_0,\omega_0) + T_{x^*}\epsilon + K\epsilon^2$，其中$T_{x^*}$为最小周期。
• $\mathfrak{C}(\epsilon)$在$\epsilon = 0$处的左导数与右导数分别存在且等于$T^{\max}(e_0)$与$T^{\min}(e_0)$，从而证明了谱的稳定性。
• 对于正交辛矩阵$\Psi = \begin{pmatrix} U & -V \\ V & U \end{pmatrix}$，函数$g^\Psi(s) = \det(\Psi - e^{sJ})$在$(0,2\pi]$内的最小零点为$\theta_1$，即$U + iV$的最小特征角，且$\mathfrak{t}(\Psi) = \theta_1$。