[论文解读] Generalizations of planar contact manifolds to higher dimensions

A. C.U. Bahar, John B. Etnyre+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文将平面接触流形推广至高维，提出两种推广形式：迭代平面接触流形与射影接触流形。研究证明，任何有限生成群均可实现为奇维数 >3 的迭代平面接触流形的基本群，且通过辛钴维与利什茨纤维丛构造了某些射影接触5-流形的辛帽。

ABSTRACT

Iterated planar contact manifolds are a generalization of three dimensional planar contact manifolds to higher dimensions. We study some basic topological properties of iterated planar contact manifolds and discuss several examples and constructions showing that many contact manifolds are iterated planar. We also observe that for any odd integer m > 3, any finitely presented group can be realized as the fundamental group of some iterated planar contact manifold of dimension m. Moreover, we introduce another generalization of three dimensional planar contact manifolds that we call projective. Finally, building symplectic cobordisms via open books, we show that some projective contact manifolds admit explicit symplectic caps.

研究动机与目标

• 将三维平面接触流形的理论推广至更高奇维数，利用迭代平面与射影开书结构。
• 研究这些推广接触流形的拓扑与辛性质。
• 确定迭代平面接触流形是否存在基本群约束。
• 通过辛钴维与利什茨纤维丛，显式构造某些射影接触5-流形的辛帽。

提出的方法

• 通过具有平面基纤维的迭代平面利什茨纤维丛定义迭代平面接触流形。
• 利用具有辛页的开书分解来支撑接触结构，并分析其单值变换。
• 通过在辛填充的边界上附着胞腔（X × D²）构造辛钴维，保持李斯列夫向量场。
• 应用角部圆滑化技术，确保李斯列夫场与钴维结构相容。
• 利用辛同伦结果（如 Li-Wu、Li-Li-Wu）将单值变换映射与拉格朗日子流形上的德恩扭转复合联系起来。
• 构造在 D² 上的辛利什茨纤维丛，指定单值变换，与现有钴维粘合，形成辛帽。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何有限生成群是否都能实现为维度 m > 3 的迭代平面接触流形的基本群？
• RQ2 迭代平面接触流形的辛填充是否总有连通边界？
• RQ3 哪些射影接触5-流形允许显式构造辛帽？
• RQ4 辛 F-丛（F = CP²#nCP²，n ≤ 4）沿 S¹ 的单值变换是否辛同伦于德恩扭转的复合？
• RQ5 在何种条件下，可通过利什茨纤维丛附着将辛钴维扩展为辛帽？

主要发现

• 对任意奇维数 m > 3 及任意有限生成群 G，存在一个基本群为 G 的迭代平面接触 (2n+1)-流形。
• 任何迭代平面接触流形的辛填充必须具有连通边界，推广了三维情形的结果。
• 一个迭代平面接触5-流形是射影的，即其威恩斯坦页可嵌入为 CP²#kCP² 中的凸区域（k 为某整数）。
• 若某射影开书的页可嵌入 CP²#nCP²（n ≤ 4），则对应的接触5-流形可嵌入一个包含 CP²#nCP² 的辛帽。
• 若辛 F-丛（F = CP²#nCP²，n ≤ 4）沿 S¹ 的单值变换在同调上作用平凡，则其辛同伦于恒等映射。
• 通过沿拉格朗日子流形附着辛3-胞腔并利用利什茨纤维丛，可将辛钴维扩展为接触流形的辛帽。