[论文解读] Generalizations of Reeb spaces of special generic maps and applications to a problem of lifts of smooth maps

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|May 20, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文引入了特殊通用映射的Reeb空间上的广义商映射，将其推广至多面体和紧致流形。该推广被应用于解决通过高维欧氏空间中的嵌入来提升Morse函数的问题，表明任一在维度大于2的闭流形上的球面Morse函数均可被提升为R^n中的嵌入，其中n ≥ max{(3m+3)/2, m+3}+1，使得与典范投影的复合可恢复原始函数。

ABSTRACT

A Reeb space is defined as the space of all the connected components of inverse images of a smooth map, which is a fundamental tool in studying smooth manifolds using generic smooth maps whose codimensions are not positive such as Morse functions, their higher dimensional versions including fold maps and general stable maps. A special generic map is a fold map and a generalization of Morse functions with just 2 singular points on homotopy spheres and the Reeb space is a compact manifold whose dimension is equal to that of the target manifold and which can be immersed into the target manifold. In this paper, we generalize a quotient map onto a Reeb space of a special generic map. We define a map onto a polyhedron locally a quotient map induced from a special generic map. Moreover, we take advantage of the generalized maps to construct lifts of Morse functions of a certain class; the composition of the lift and the canonical projection is the original funciton. It is an answer of an explicit problem in the studies of lifts of smooth maps, or maps such that the compositions of the found maps and the canonical projections are original maps, which are fundamental and important in the studies of smooth maps and applications to algebraic and differential topology of manifolds.

研究动机与目标

• 将特殊通用映射的Reeb空间商映射推广至映射到多面体和紧致流形的情形。
• 解决Morse函数在高维欧氏空间中通过嵌入或浸入实现提升的开放问题。
• 提供此类提升的显式构造，使得与典范投影的复合可恢复原始光滑映射。
• 将先前关于特殊通用映射和伪特殊通用映射的提升结果推广至更高余维情形。
• 建立此类提升存在的条件，特别是针对非可定向流形和高维目标的情形。

提出的方法

• 将伪特殊通用映射定义为Reeb空间商映射的推广，其局部模型为特殊通用映射。
• 利用Reeb空间及其邻域的结构，将局部提升扩展为全局嵌入。
• 应用[15]中的技术，利用球面嵌入空间的单连通性，将平凡伪特殊通用映射进行推广。
• 通过在Reeb空间的边界邻域上使用平凡法丛，将映射扩展至R^n，从而构造出嵌入提升。
• 确保嵌入与典范投影π_{n,1}的复合可恢复原始Morse函数。
• 利用S^{m-2}到R^{n-3}的光滑嵌入空间的单连通性，实现提升的全局扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将特殊通用映射的Reeb空间构造推广至映射到紧致流形和多面体的情形？
• RQ2 在维度大于2的闭流形上，球面Morse函数在何种条件下可被提升为R^n中的嵌入，使得与π_{n,1}的复合可恢复原始函数？
• RQ3 此类提升存在的目标欧氏空间的最小维度n是多少？
• RQ4 源流形的可定向性及其拓扑结构如何影响此类提升的存在性？
• RQ5 能否构造出一种提升，使得与π_{n,3}的复合等价于映射到R^3中一个2维紧致流形的平凡伪特殊通用映射？

主要发现

• 在维度m > 2的闭流形上的球面Morse函数可表示为R^n中的光滑嵌入与典范投影π_{n,1}的复合，其中n ≥ max{(3m+3)/2, m+3}+1。
• 该嵌入提升可被构造，使得与π_{n,3}的复合等价于映射到R^3中一个2维紧致流形的平凡伪特殊通用映射。
• 该构造依赖于利用球面嵌入空间的单连通性，将局部提升扩展至Reeb空间边界邻域。
• 对于非可定向的源流形，若对应的伪特殊通用映射是平凡的，则无法构造出余维大于2的R^n中的特殊通用映射提升。
• 本结果推广了[11]中的早期工作，后者要求可定向性且n略小，现将构造推广至非可定向情形及更高余维情形。