[论文解读] Generalized boundary triples, Weyl functions and inverse problems

Vladimir Derkach, Seppo Hassi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 43被引用 6

一句话总结

本文在希尔伯特空间中对对称算子的边界三元组和魏尔函数发展了一种广义框架，建立了魏尔函数为内夫林纳族或属于类 $\widetilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$ 的条件。关键贡献是通过魏尔函数表征广义边界三元组，将相关二次型的闭包性与参考算子 $A_0 = \ker \Gamma_0$ 的本质自伴性联系起来，并将其应用于微分算子，包括具有点相互作用或混合边界条件的薛定谔、狄拉克和拉普拉斯算子。

ABSTRACT

With a closed symmetric operator $A$ in a Hilbert space ${\mathfrak H}$ a triple $Π=\{{\mathcal H},Γ_0,Γ_1\}$ of a Hilbert space ${\mathcal H}$ and two abstract trace operators $Γ_0$ and $Γ_1$ from $A^*$ to ${\mathcal H}$ is called a generalized boundary triple for $A^*$ if an abstract analogue of the second Green's formula holds. Various classes of generalized boundary triples are introduced and corresponding Weyl functions $M$ are investigated. The most important ones for applications are specific classes of (essentially) unitary boundary triples which guarantee that the Weyl functions of boundary triples are Nevanlinna functions on ${\mathcal H}$, or at least they belong to the class of Nevanlinna families. The boundary condition $Γ_0f=0$ determines a reference operator $A_0$. The case where $A_0$ is selfadjoint implies a relatively simple analysis, as the joint domain of the trace mappings $Γ_0$ and $Γ_1$ admits a von Neumann type decomposition. The case where $A_0$ is only essentially selfadjoint is more involved, but appears to be of great importance, for instance, in applications to PDEs and ODEs. Various classes of generalized boundary triples will be characterized in purely analytic terms via the Weyl function $M$. These characterizations involve solving direct and inverse problems for specific classes of (unbounded) operator functions $M$. One of the main results specifies the analytic properties of $M$ which guarantee that $A_0$ is essentially selfadjoint. In this study we also derive, for instance, Kre\uın-type resolvent formulas for the most general classes of unitary and isometric boundary triples appearing in the present work. All the main results are shown to have applications in the study of ordinary and partial differential operators.

研究动机与目标

• 将边界三元组理论从标准自伴参考算子推广到参考算子 $A_0 = \ker \Gamma_0$ 仅为本质自伴的情形。
• 通过关联的魏尔函数 $M(\cdot)$ 的解析性质，表征广义边界三元组，特别是其属于内夫林纳类 $\mathcal{R}(\mathcal{H})$ 或 $\widetilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$ 的情形。
• 建立二次型 $\tau_{M(z)}(f,g) = (2i\,{\rm Im\,}z)^{-1}[(M(z)f,g) - (f,M(z)g)]$ 在 $\mathcal{H}$ 上闭包性的充分必要条件，且该条件与 $z \in \mathbb{C}_\pm$ 的选择无关。
• 在酉和等距边界三元组的最一般设定下，推导克雷因型预解公式，以支持反问题与谱理论的应用。
• 将所发展的框架应用于具体算子，如具有粗糙或利普希茨边界区域的拉普拉斯算子、具有点相互作用的薛定谔与狄拉克算子，以及混合边界值问题。

提出的方法

• 为对称算子 $A$ 的共轭算子 $A^*$ 引入广义边界三元组 $\Pi = \{\mathcal{H}, \Gamma_0, \Gamma_1\}$，满足一个抽象的第二格林恒等式。
• 定义魏尔函数 $M(\lambda) = \Gamma_1 (A^* - \lambda)^{-1} \Gamma_0^*$，其映射 $\mathbb{C}_\pm$ 到 $\mathcal{H}$ 上的有界算子，并分析其解析性质。
• 通过魏尔函数表征广义边界三元组的类，特别关注 $M(\cdot) \in \mathcal{R}(\mathcal{H})$ 或 $\widetilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$ 的情形，确保魏尔函数为内夫林纳族。
• 引入二次型 $\tau_{M(z)}(f,g)$，并证明其在 $\mathcal{H}$ 上的闭包性当且仅当参考算子 $A_0 = \ker \Gamma_0$ 为本质自伴。
• 利用 von Neumann 型分解，通过 $A_0$ 和亏空子空间分析 $\Gamma_0$ 与 $\Gamma_1$ 的联合定义域，以研究边界三元组的结构。
• 将理论应用于具体算子：具有粗糙边界的区域上的拉普拉斯算子、混合BVP、以及具有无穷多组点相互作用的狄拉克与薛定谔算子，通过显式边界三元组与魏尔函数实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，广义边界三元组的魏尔函数 $M(\cdot)$ 属于内夫林纳族 $\mathcal{R}(\mathcal{H})$ 或 $\widetilde{\mathcal{R}}(\mathcal{H})$？
• RQ2 何时二次型 $\tau_{M(z)}(f,g) = (2i\,{\rm Im\,}z)^{-1}[(M(z)f,g) - (f,M(z)g)]$ 在 $\mathcal{H}$ 上闭包成立，且该闭包性是否依赖于 $z \in \mathbb{C}_\pm$ 的选择？
• RQ3 参考算子 $A_0 = \ker \Gamma_0$ 的本质自伴性与魏尔函数 $M(\cdot)$ 的解析性质之间的确切关系为何？
• RQ4 克雷因型预解公式如何推广至酉和等距边界三元组的最一般设定？
• RQ5 广义边界三元组为 $S$、$ES$ 或 $B$ 类的充分必要条件是什么，这些条件如何与魏尔函数及边界算子的结构相关？

主要发现

• 在 $\mathcal{H}$ 上，二次型 $\tau_{M(z)}(f,g)$ 的闭包性与 $z \in \mathbb{C}_\pm$ 的选择无关，且等价于参考算子 $A_0 = \ker \Gamma_0$ 的本质自伴性。
• 若 $A_0$ 为本质自伴，则魏尔函数 $M(\cdot)$ 属于 $\mathcal{R}(\mathcal{H})$ 中的内夫林纳族，且形式 $\tau_{M(z)}$ 闭包，其闭包在 $\mathbb{C}_\pm$ 上关于全纯运动保持不变。
• 对于具有点相互作用的盖兹塞-谢巴狄拉克算子，预解式由克雷因型公式给出：$(D_{X,\alpha} - \lambda)^{-1} = (D_0 - \lambda)^{-1} + \gamma(\lambda)(B_\alpha + Q - M(\lambda))^{-1}\gamma(\bar{\lambda})^*$，对 $\lambda \in \rho(D_{X,\alpha}) \cap \rho(D_0)$ 成立。
• 通过普通边界三元组的直和构造的边界三元组 $\widetilde{\Pi}$ 是一个 $ES$-广义边界三元组，但若 $d_* = 0$，则不是 $S$-广义边界三元组，原因在于存在严格包含关系 $\text{dom}\,M(z) \subsetneq \widetilde{\Gamma}_0(\text{dom}\,D_{X,*})$。
• 转置边界三元组 $\Pi^\top$ 的魏尔函数为 $-\widetilde{M}(\cdot)^{-1}$，且其属于 $\mathcal{R}^s[\mathcal{H}]$，意味着 $\Pi^\top$ 是一个 $B$-广义边界三元组。
• 对于直和边界三元组 $\widetilde{\Pi}$，魏尔函数 $\widetilde{M}(z)$ 满足 $\widetilde{M}_n(z) \sim d_n \begin{pmatrix} z - c^2/2 & 0 \\ 0 & c^{-2}(z + c^2/2) \end{pmatrix}$ 当 $d_n \to 0$ 时，且形式定义域由 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(\text{Im}\,K(z)h_n, h_n)}{d_n} < \infty$ 表征，其中 $\{h_n\} \in l^2(\mathbb{N}) \otimes \mathbb{C}^2$。