[论文解读] Generalized Budgeted Submodular Set Function Maximization

Francesco Cellinese, Gianlorenzo D’Angelo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用 2

一句话总结

本文提出了广义预算子模集合函数最大化（GBSM）问题，这是预算子模优化的一个新颖扩展，其中元素的成本取决于其被分配的桶（bin），且桶和元素的成本共同构成全局预算。作者提出了一种贪心算法，实现了 1/2(1 − 1/e^α) 的近似比，其中特殊情况下 α = 1 − ϵ，一般情况下 α = 1 − 1/e − ϵ；并进一步将其扩展为一种双准则算法，通过使用 β > 1 的预算倍增因子，实现任意接近 1/2 的近似比。

ABSTRACT

In this paper we consider a generalization of the well-known budgeted maximum coverage problem. We are given a ground set of elements and a set of bins. The goal is to find a subset of elements along with an associated set of bins, such that the overall cost is at most a given budget, and the profit is maximized. Each bin has its own cost and the cost of each element depends on its associated bin. The profit is measured by a monotone submodular function over the elements. We first present an algorithm that guarantees an approximation factor of $\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{e^α} ight)$, where $α\leq 1$ is the approximation factor of an algorithm for a sub-problem. We give two polynomial-time algorithms to solve this sub-problem. The first one gives us $α=1- ε$ if the costs satisfies a specific condition, which is fulfilled in several relevant cases, including the unitary costs case and the problem of maximizing a monotone submodular function under a knapsack constraint. The second one guarantees $α=1-\frac{1}{e}-ε$ for the general case. The gap between our approximation guarantees and the known inapproximability bounds is $\frac{1}{2}$. We extend our algorithm to a bi-criterion approximation algorithm in which we are allowed to spend an extra budget up to a factor $β\geq 1$ to guarantee a $\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{e^{αβ}} ight)$-approximation. If we set $β=\frac{1}α\ln \left(\frac{1}{2ε} ight)$, the algorithm achieves an approximation factor of $\frac{1}{2}-ε$, for any arbitrarily small $ε>0$.

研究动机与目标

• 正式化并研究预算最大覆盖问题与子模优化问题的新泛化形式。
• 解决在联合预算约束下同时选择桶和元素的挑战，其中元素成本取决于其被分配的桶。
• 为该泛化设置设计一种具有可证明性能保证的多项式时间近似算法。
• 弥合该新模型中已知不可近似性界与可实现近似比之间的差距。

提出的方法

• 提出一种贪心算法，通过迭代选择未覆盖元素及其关联桶的子集，以最大化边际收益与成本的比值。
• 引入一种子问题求解器，实现近似因子 α，包含两种变体：一种在特定成本条件下（如单位成本、背包约束）实现 α = 1 − ϵ；另一种在一般情况下实现 α = 1 − 1/e − ϵ。
• 采用双准则近似框架，允许使用 β ≥ 1 的预算倍增因子以提升近似比。
• 使用分层列表结构（α-list）在每次迭代中高效探索元素与桶的有希望组合。
• 通过子模性与成本比分析，推导出理论近似保证 1/2(1 − 1/e^α)。
• 通过放宽预算约束因子 β，将算法扩展为双准则版本，实现 1/2(1 − 1/e^{αβ})-近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在常数因子内近似具有桶相关元素成本的广义预算子模最大化问题？
• RQ2 在已知不可近似性界下，该广义模型的最佳可实现近似比是多少？
• RQ3 贪心算法如何适应在联合成本约束下同时选择桶和元素？
• RQ4 通过预算松弛的双准则方法能否将近似比提升至对任意 ϵ > 0 接近 1/2？
• RQ5 近似比中的 1/2 因子是否本质存在，还是可通过高级技术（如部分枚举）被消除？

主要发现

• 所提出的算法对 GBSM 问题实现了 1/2(1 − 1/e^α) 的近似比，其中 α 是子问题求解器的近似因子。
• 对于满足特定成本条件（如单位成本或背包约束）的一类实例，子问题求解器实现 α = 1 − ϵ，从而得到 1/2(1 − 1/e^{1−ϵ})-近似比。
• 在一般情况下，子问题求解器实现 α = 1 − 1/e − ϵ，从而得到 1/2(1 − 1/e^{1−1/e−ϵ})-近似比。
• 当预算放宽因子 β ≥ 1 时，双准则算法实现 1/2(1 − 1/e^{αβ})-近似比。
• 通过设置 β = 1/(α ln(1/(2ϵ)))，算法可对任意任意小的 ϵ > 0 实现 1/2 − ϵ 近似比。
• 该算法的时间复杂度为 O(1/ϵ · m · gr(n) · log(k/ĉ))，其中 gr(n) 表示贪心最大覆盖子程序的运行时间。