[论文解读] Towards Practical Constrained Monotone Submodular Maximization.

Wenxin Li, Ness B. Shroff|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 2

一句话总结

本文提出自适应递减阈值（ADT）算法，用于约束单调子模最大化，实现了目前已知最快的时间复杂度和改进的近似保证。该算法在基数约束下实现了 $(1 - \frac{1}{e} - \varepsilon)$-近似，查询次数为 $O(n \times \max\{\varepsilon^{-1}, \log\log k\})$，同时建立了任何随机化算法若实现优于 $\frac{1}{2} + \Theta(1)$ 近似比，则其查询复杂度下界为 $\Omega(n / \log n)$。

ABSTRACT

We design new algorithms for maximizing a monotone non-negative submodular function under various constraints, which improve the state-of-the-art in time complexity and/or performance guarantee. We first investigate the cardinality constrained submodular maximization problem that has been widely studied for about four decades. We design an $(1-\frac{1}{e}-\varepsilon)$-approximation algorithm that makes $O(n\cdot \max \{\varepsilon^{-1},\log\log k \})$ queries. To the best of our knowledge, this is the fastest known algorithm. We further answer the open problem on finding a lower bound on the number of queries. We show that, no (randomized) algorithm can achieve a ratio better than $(\frac{1}{2}+\Theta(1))$ with $o(\frac{n}{\log n})$ queries. The acceleration above is achieved by our \emph{Adaptive Decreasing Threshold} (ADT) algorithm. Based on ADT, we study the $p$-system and $d$ knapsack constrained maximization problem. We show that an $(1/(p+\frac{7}{4}d+1)-\varepsilon)$-approximate solution can be computed via $O(\frac{n}{\varepsilon}\log \frac{n}{\varepsilon}\max\{\log \frac{1}{\varepsilon},\log\log n\})$ queries. Note that it improves the state of the art in both time complexity and approximation ratio. We also show how to improve the ratio for a single knapsack constraint via $O(n\cdot \max \{\varepsilon^{-1},\log\log k \})$ queries. For maximizing a submodular function with curvature $\kappa$ under matroid constraint, we show an $(1-\frac{\kappa}{e}-\varepsilon)$-approximate algorithm that uses $ ilde{O}(nk)$ value oracle queries. Our ADT could be utilized to obtain faster algorithms in other problems. To prove our results, we introduce a general characterization between randomized complexity and deterministic complexity of approximation algorithms that could be used in other problems and may be interesting in its own right.

研究动机与目标

• 设计更快、更准确的单调子模函数最大化算法，适用于各种约束条件。
• 解决随机化算法在子常数近似下所需查询次数的下界这一开放问题。
• 在 $p$-system 和背包约束下，同时改进近似比和查询复杂度，达到当前最优水平。
• 将 ADT 框架扩展至处理曲率感知和拟阵约束的子模最大化问题。

提出的方法

• 提出自适应递减阈值（ADT）算法，通过根据边际收益动态调整阈值，高效探索解空间。
• 提出一种新颖的表征方法，将随机化与确定性近似复杂度关联，推导出查询复杂度下界。
• 通过适配阈值更新机制以尊重约束结构，将 ADT 应用于 $p$-system 和背包约束。
• 利用子模函数的曲率 $\kappa$，在拟阵约束环境下优化近似保证。
• 设计一种查询高效的框架，通过自适应阈值优先选择高收益元素，减少价值预言机调用次数。
• 证明在基数约束下，$O(n \cdot \max\{\varepsilon^{-1}, \log\log k\})$ 次查询足以实现 $(1 - \frac{1}{e} - \varepsilon)$-近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种子模最大化算法，在基数约束下以少于 $O(n \varepsilon^{-1})$ 次查询实现 $(1 - \frac{1}{e} - \varepsilon)$-近似？
• RQ2 任何随机化算法在子模最大化中实现非平凡近似比时，所需查询次数的最优下界是什么？
• RQ3 ADT 框架能否被扩展，以在 $p$-system 和背包约束下实现更优的近似比，同时降低查询复杂度？
• RQ4 在拟阵约束的子模最大化中，函数曲率 $\kappa$ 如何影响近似保证？能否利用它来提升性能？
• RQ5 能否为子模问题建立随机化与确定性近似算法之间的一般复杂度表征？

主要发现

• ADT 算法在基数约束的子模最大化中，仅使用 $O(n \cdot \max\{\varepsilon^{-1}, \log\log k\})$ 次价值预言机查询，即可实现 $(1 - \frac{1}{e} - \varepsilon)$-近似，是目前速度最快的算法。
• 本文建立了下界，表明任何随机化算法若使用 $o(n / \log n)$ 次查询，则无法实现优于 $\frac{1}{2} + \Theta(1)$ 的近似比。
• 对于 $p$-system 和 $d$-背包约束，基于 ADT 的算法使用 $O(\frac{n}{\varepsilon} \log \frac{n}{\varepsilon} \cdot \max\{\log \frac{1}{\varepsilon}, \log\log n\})$ 次查询，实现了 $(1/(p + \frac{7}{4}d + 1) - \varepsilon)$-近似，相比之前工作在近似比和查询复杂度上均有提升。
• 在单个背包约束下，ADT 算法的查询复杂度与基数情况相同，为 $O(n \cdot \max\{\varepsilon^{-1}, \log\log k\})$，同时提升了近似比。
• 对于在拟阵约束下具有曲率 $\kappa$ 的子模函数，该算法使用 $\tilde{O}(nk)$ 次价值预言机查询，实现了 $(1 - \frac{\kappa}{e} - \varepsilon)$-近似。
• 本文提出了一种随机化与确定性近似算法之间的通用复杂度表征，可能适用于子模最大化之外的其他问题。