[论文解读] Generalized Donaldson-Thomas theory over fields K $ eq$ C

Vittoria Bussi|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 10

一句话总结

本文将广义唐纳森-托马斯（DT）理论推广至特征为零的代数闭域，采用代数几何与d-临界簇的方法定义不变量，无需依赖复解析方法。通过代数化数值格罗滕迪克群的刻画，证明了DT不变量的形变不变性，并推测该理论可进一步推广至非紧致及导出范畴设定。

ABSTRACT

Generalized Donaldson-Thomas invariants defined by Joyce and Song arXiv:0810.5645 are rational numbers which `count' both $τ$-stable and $τ$-semistable coherent sheaves with Chern character $α$ on a Calabi-Yau 3-fold $X$, where $τ$ denotes Gieseker stability for some ample line bundle on $X$. These invariants are defined for all classes $α$, and are equal to the classical Donaldson-Thomas invariant defined by Thomas arXiv:math/9806111 when it is defined. They are unchanged under deformations of $X$, and transform by a wall-crossing formula under change of stability condition $τ$. Joyce and Song use gauge theory and transcendental complex analytic methods, so that their theory of generalized Donaldson-Thomas invariants is valid only in the complex case. This paper will propose a new algebraic method extending the theory to algebraically closed fields K of characteristic zero, and partly to triangulated categories and for non necessarily compact Calabi-Yau 3-folds under some hypothesis.

研究动机与目标

• 将乔伊丝与宋的广义DT不变量推广至特征为零的代数闭域，避免使用复解析方法。
• 通过利用Picard概形刻画数值格罗滕迪克群，提供DT不变量形变不变性的代数证明。
• 确立相干层模堆栈的局部结构为GL(n,K)-不变的d-临界簇。
• 在适当假设下，将理论推广至非紧致卡拉比-丘3-fold及三角范畴。
• 推测在特征为零的代数闭域上，广义DT不变量在导出范畴框架下依然有效。

提出的方法

• 使用d-临界几何描述相干层模堆栈为局部由切空间中 étale 邻域上的正则函数截得的GL(n,K)-不变d-临界簇。
• 应用导出辛结构与临界簇理论，在紧支撑完美复形的模空间上构造(2−m)-辛结构。
• 利用贝伦德函数及其恒等式，通过微局部几何与动机积分关联至DT不变量。
• 在复情形下借助沃辛（Voisin）的积分霍奇猜想，证明数值格罗滕迪克群的形变不变性，并给出该事实的代数证明。
• 通过以分明三角形替代正合序列，并利用导出代数几何处理模堆栈，将乔伊丝的框架适配至三角范畴。
• 提出托恩（Toën）的导出Hall代数方法可解决三角范畴中非典范锥构造的问题，从而在Hall代数框架下恢复结合性。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义DT不变量能否在不依赖复解析或规范理论方法的前提下，定义于特征为零的代数闭域上？
• RQ2 卡拉比-丘3-fold的数值格罗滕迪克群是否在形变下保持不变？能否通过代数方法证明此性质？
• RQ3 卡拉比-丘3-fold上相干层模堆栈是否携带与GL(n,K)-不变性相容的d-临界结构？
• RQ4 广义DT不变量理论能否推广至非紧致卡拉比-丘3-fold？在该推广下，哪些不变量仍保持不变？
• RQ5 尽管存在非典范锥构造，广义DT不变量理论能否通过导出Hall代数框架，将乔伊丝与宋的框架推广至三角范畴？

主要发现

• 卡拉比-丘3- fold 上相干层模堆栈具有GL(n,K)-不变的d-临界簇结构，从而可在任意特征为零的代数闭域上代数地构造DT不变量。
• 模堆栈上的贝伦德函数满足由d-临界结构导出的恒等式，将其与稳定层的虚拟计数联系起来。
• 通过Picard概形代数刻画卡拉比-丘3- fold 的数值格罗滕迪克群，无需复解析工具即可证明其形变不变性。
• 对于非紧致拟射影卡拉比-丘3- fold，广义DT不变量可被定义，但形变不变性不成立，且模空间未必是完备的。
• 广义DT不变量的墙-crossing公式在代数设定下依然成立，且在适当条件下理论可推广至导出范畴。
• 推测在特征为零的代数闭域上，广义DT不变量存在于导出范畴框架中，且导出Hall代数为该理论提供了可行的代数基础。