[论文解读] Generalized Haah Codes and Fracton Models

Kevin Tian, Zhenghan Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2019

Quantum many-body systems参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文提出了一种适用于有限群上拓扑量子晶格的广义稳定子码框架，将Haah A-和B-码推广至每格点$2q$量子比特，采用有限群$G$的多重子集和$q \times q$二元矩阵。该构造生成了具有非平凡拓扑简并度和奇异 anyonic 激发的局域稳定子哈密顿量，推广了已知的任意子模型，同时保持了如纠缠重整化群流行为等关键特性。

ABSTRACT

Entanglement renormalization group flow of the Haah cubic code produces another fracton model with 4 qubits per lattice site, dubbed as the Haah B-code. We provide a schema that generalizes both models to stabilizer codes on any finite group with 2q qubits per site and labeled by multi-subsets of the finite group and a symmetric binary matrix.

研究动机与目标

• 将Haah A-码和B-码推广至任意$q \geq 1$下每晶格格点$2q$量子比特的更广泛稳定子码类。
• 将原始立方码的稳定子结构扩展至任意有限群$G$，利用$G$的多重子集和$\mathbb{F}_2$-矩阵。
• 在$L(G, 2q)$希尔伯特空间上构造保持原始模型任意子特性和亚维激发的局域哈密顿量。
• 探索广义模型中简并度的共振标度和非平凡纠缠重整化群（ERG）流行为的可能性。
• 为在有限群上构造广义Haah码及其类比物（Haah B-码）的稳定子码提供系统性框架。

提出的方法

• 定义每群元素$g \in G$对应$2q$量子比特的希尔伯特空间$L(G, 2q)$，标记为$+1,\dots,+q$和$-1,\dots,-q$。
• 利用$G$的两组$q$个子集$A = \{A_i\}, B = \{B_j\}$以及$\mathbb{F}_2$上的$q \times q$矩阵$C$构造$X$和$Z$稳定子。
• 定义$Z^C_g = \prod_{k=1}^q Z_{(g(CA)_k, +k)} Z_{((C^T B)_k g, -k)}$和$X^C_g = \prod_{k=1}^q X_{(\overline{(C^T B)_k} g, +k)} X_{(g \overline{(CA)_k}, -k)}$。
• 通过$G$的逆封闭子集$L, R \subset G$引入LR字距离度量，定义距离$d(g,h)$为通过左乘和右乘将$g$与$h$关联所需的最少次数。
• 证明所得哈密顿量在该度量下支持于半径为1的球内，确保局域性。
• 通过将泡利算符替换为满足$UV = \omega_d VU$的$d$维时钟算符和移位算符$U, V$（其中$\omega_d = e^{2\pi i/d}$）推广至qudit系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Haah A-和B-码推广至任意$q \geq 1$下每格点$2q$量子比特的模型？
• RQ2 有限群$G$及其多重子集在构建具有任意子特性的稳定子码中起什么作用？
• RQ3 在$G$上采用修改的字距离度量时，广义哈密顿量的局域性是否仍可保持？
• RQ4 广义模型中的拓扑简并度性质如何？共振标度效应是否会影响它？
• RQ5 广义模型是否继承了原始Haah码中观察到的纠缠重整化群（ERG）流行为？

主要发现

• 广义稳定子码采用每格点$2q$量子比特，其中$q$个标记为“上层”，$q$个为“下层”，构成双层图像。
• 通过$\mathbb{F}_2$-线性组合的群元素定义$X$和$Z$稳定子，$Z^C_g$和$X^C_g$分别通过左乘和右乘集合作用于上层和下层量子比特。
• 所得哈密顿量在LR字度量下为局域的，支持于半径为1的球内，确保物理可实现性。
• 当$q=1$时，构造退化为LR码；当$q=2$时，在适当选择$A_i, B_j, C$下可恢复Haah A-和B-码。
• 当晶格尺寸与子群结构对齐时，广义模型中的简并度模式可能表现出共振标度，这与LR码的类比提示了这一点。
• 初步数值证据表明，原始Haah模型的解纠缠幺正变换并不普遍推广，暗示原始码在ERG流中具有特殊角色。