[论文解读] Generalized holomorphic analytic torsion

José Ignacio Burgos Gil, Gerard Freixas i Montplet+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 9

一句话总结

本文通过公理化框架，将全纯解析 torsion 类扩展至任意光滑复代数簇之间的投影态射。它将广义 torsion 识别为与 $-R/2$ 拓扑指标相关联，提供了此类理论的分类，实现了对已知性质的简化证明，刻画了 $R$-genus，并构建了全纯度量的直接像。

ABSTRACT

We extend the holomorphic analytic torsion classes of Bismut and Köhler to arbitrary projective morphisms between smooth algebraic complex varieties. To this end, we propose an axiomatic definition and give a classification of the theories of generalized holomorphic analytic torsion classes for arbitrary projective morphisms.

研究动机与目标

• 将 Bismut 与 Köhler 的全纯解析 torsion 类从子mersions 推广至任意光滑复代数簇之间的投影态射。
• 为投影态射的广义全纯解析 torsion 类理论建立公理化表征。
• 将 Bismut 与 Köhler 的 torsion 的推广识别为与 $-R/2$ 相关的理论，其中 $R$ 为 $R$-genus。
• 利用公理化框架，为解析 torsion 类的已知性质提供更简明的证明。
• 基于广义 torsion 理论，为投影态射构造全纯结构的直接像。

提出的方法

• 基于函子性、与直接像的相容性以及度量变换下的行为，提出投影态射的广义全纯解析 torsion 类的公理化定义。
• 利用上同调框架对所有此类理论进行分类，并证明其由 $H^2(\text{Gr}(n), \bbR)$ 中的特征类参数化。
• 将对应于 $-R/2$ 的特定理论识别为 Bismut 与 Köhler 的 torsion 的自然推广，其中 $R$ 为 $R$-genus。
• 利用公理化框架推导异常公式，并将其与行列式线丛的曲率联系起来。
• 将理论应用于计算在奇异纤维附近 torsion 形式的渐近展开，使用局部坐标展开与留数电流。
• 利用 Bismut-Lebeau 与 Gillet-Soulé 关于相容性公式与算术 Riemann-Roch 的结果，验证构造的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些公理条件能唯一表征投影态射的广义全纯解析 torsion 类？
• RQ2 如何将 Bismut 与 Köhler 的全纯解析 torsion 推广至非子mersion 的投影态射？
• RQ3 哪一特征类决定了解析 torsion 的唯一推广？它与 $R$-genus 的关系如何？
• RQ4 公理化框架能否为解析 torsion 的已知性质提供更简明的证明？
• RQ5 如何利用广义 torsion 理论构造全纯丛在行列式丛上的直接像度量？

主要发现

• 广义全纯解析 torsion 类完全由其关联的特征类表征，对应于 $-R/2$ 的理论是 Bismut 与 Köhler 的 torsion 的唯一推广。
• 本文利用公理化框架，为全纯解析 torsion 的已知性质提供了新的、简化的证明。
• $R$-genus 被刻画为在全纯丛直接像的语境下控制异常公式的唯一特征类。
• 在具有 $n_p$ 个奇异点位于点 $p$ 上的奇异纤维附近，torsion 形式的 $(1,1)$-分量满足：当 $w \to 0$ 时，$T(\bar{\theta})^{(1,1)} = -\frac{\operatorname{rk}(\bar{\mathcal{F}})}{6}n_p[\log|w|] + O(1)$。
• 对于直接像丛上的 $L^2$ 度量，torsion 满足 $T(\bar{\xi}'')^{(1,1)} = -\frac{\operatorname{rk}(\bar{\mathcal{F}})}{6}n_p[\log|w|] + O(\log\log|w|^{-1})$，反映出对数奇点。
• 该构造为投影态射下的行列式丛上的全纯结构提供了明确定义的直接像，将 Quillen 的度量构造推广至奇异纤维。