[论文解读] Generalized hybrid momentum maps and reduction by symmetries of forced mechanical systems with inelastic collisions

Leonardo Colombo, Manuel de León+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2021

Dynamics and Control of Mechanical Systems被引用 4

一句话总结

本文引入广义混合动量映射，以实现具有非弹性碰撞的受迫力学系统中的对称性约化，将经典的Routh和Marsden-Weinstein约化推广至混合系统。主要贡献在于提出一个框架，用于约化具有时变对称性、外力和非弹性碰撞的自治与非自治系统，其中碰撞前后动量映射发生变化，从而在每次碰撞区间内形成一系列约化系统。

ABSTRACT

This paper discusses reduction by symmetries for autonomous and non-autonomous forced mechanical systems with inelastic collisions. In particular, we introduce the notion of generalized hybrid momentum map and hybrid constants of the motion to give general conditions on whether it is possible to perform symmetry reduction for Hamiltonian and Lagrangian systems subject to non-conservative external forces and non-elastic impacts, as well as its extension to time-dependent mechanical systems subject to time-dependent external forces and time-dependent inelastic collisions. We illustrate the applicability of the method with examples and numerical simulations.

研究动机与目标

• 将对称性约化技术推广至受非保守力和非弹性碰撞影响的混合力学系统，其中标准动量映射不再保持不变。
• 解决受迫、非自治及具有非弹性碰撞的混合力学系统缺乏系统性约化框架的问题。
• 将混合动量映射的概念广义化，以适应非弹性碰撞过程中动量的变化，实现在碰撞区间内的约化。
• 在拉格朗日和哈密顿框架下提供一个几何约化框架，包括时变系统。
• 通过涉及时变切换曲面和具有转动与平动自由度的机械系统中非弹性碰撞的实例，展示理论的适用性。

提出的方法

• 引入广义混合动量映射的概念，即使动量值在碰撞中发生变化，也能追踪其在非弹性碰撞中的守恒量。
• 在哈密顿和拉格朗日框架下使用广义动量映射制定约化程序，确保连续与离散动力学之间的一致性。
• 利用余辛几何的几何框架，将约化推广至具有时变拉格朗日函数和外力的非自治系统。
• 根据动量映射值定义约化切换曲面和碰撞映射，从而在每次碰撞后实现约化空间中的轨迹重构。
• 将理论应用于具有时变运动壁的机械系统，其中碰撞映射改变角动量和线动量分量，例如一个圆盘在两堵移动墙壁之间弹跳。
• 通过用动量映射分量表示系统，推导出约化动力学，表明约化系统在由动量值索引的一系列辛流形上演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将对称性约化推广至非弹性碰撞的混合力学系统，其中动量映射在碰撞中不保持不变？
• RQ2 如何定义一个广义混合动量映射，以适应受迫力学系统中非弹性碰撞期间动量的变化？
• RQ3 在具有时变对称性和外力的非自治系统中，何种条件可确保约化过程的有效性？
• RQ4 当碰撞为非弹性且力为非保守力时，该约化框架与经典Routh或Marsden-Weinstein约化有何不同？
• RQ5 该理论是否可应用于具有时变切换曲面和碰撞映射的系统，例如圆盘与移动墙壁的碰撞？

主要发现

• 广义混合动量映射使得在非弹性碰撞中动量映射值发生改变的系统中实现对称性约化成为可能，这与标准混合动量映射不同。
• 在例25中，动量映射 $(\bar{J}_L)_F = (mr^2\dot{\theta}, mk^2\dot{\vartheta})$ 是一个广义混合动量映射，但不是标准混合动量映射，因为 $\mu_1^+ = -\mu_1^-$ 且 $\mu_2^+ = \mu_2^-$，表明第一分量发生变化。
• 约化切换曲面 $S_{(\mu_1,\mu_2)}$ 依赖于动量映射值，其定义为 $r\sin\varphi = R$ 或 $r\sin\varphi = f(t) - R$，并包含条件 $\dot{r}\cos\varphi - r\frac{\mu_1}{mr^2}\sin\varphi = R\frac{\mu_2}{mk^2}$。
• 对于非自治系统，该方法通过余辛框架得以扩展，使得具有时变拉格朗日函数和碰撞映射的系统能够实现约化。
• 每次碰撞后的约化动力学在由动量映射值索引的不同辛流形上演化，从而形成一系列约化混合系统。
• 数值模拟验证了约化的有效性，表明在多次碰撞事件中，约化空间内的轨迹重构保持一致。