[论文解读] Generalized inverses and polar decomposition of unbounded regular operators on Hilbert $C^*$-modules

Michael Frank, Kamran Sharifi|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 24

一句话总结

该论文证明了：在任意 $C^*$-代数上的希尔伯特 $C^*$-模上，一个无界正规算子存在极分解当且仅当其值域和其绝对值算子的值域的闭包均为正交补子模，这等价于该算子及其伴随算子均存在无界正规广义逆。主要贡献在于将紧算子的 $C^*$-代数特征刻画为：所有定义稠密的闭算子均存在极分解或广义逆的充要条件。

ABSTRACT

In this note we show that an unbounded regular operator $t$ on Hilbert $C^*$-modules over an arbitrary $C^*$ algebra $ \mathcal{A}$ has polar decomposition if and only if the closures of the ranges of $t$ and $|t|$ are orthogonally complemented, if and only if the operators $t$ and $t^*$ have unbounded regular generalized inverses. For a given $C^*$-algebra $ \mathcal{A}$ any densely defined $\mathcal A$-linear closed operator $t$ between Hilbert $C^*$-modules has polar decomposition, if and only if any densely defined $\mathcal A$-linear closed operator $t$ between Hilbert $C^*$-modules has generalized inverse, if and only if $\mathcal A$ is a $C^*$-algebra of compact operators.

研究动机与目标

• 确定希尔伯特 $C^*$-模上无界正规算子存在极分解的必要与充分条件。
• 研究广义逆的存在性与底层 $C^*$-代数结构性质之间的关系。
• 刻画所有定义稠密的闭算子均存在极分解或广义逆的 $C^*$-代数。
• 将希尔伯特空间中已知的极分解与广义逆结果推广至任意 $C^*$-代数上的希尔伯特 $C^*$-模这一更一般的情形。

提出的方法

• 作者通过考察 $\operatorname{Ran}(t)$ 和 $\operatorname{Ran}(|t|)$ 的闭包是否具有正交补性质，分析希尔伯特 $C^*$-模上无界正规算子 $t$ 的极分解，其中 $|t| = (t^*t)^{1/2}$。
• 他们证明了 $t$ 存在极分解当且仅当 $t$ 及其伴随算子 $t^*$ 均存在无界正规广义逆。
• 证明依赖于通过希尔伯特 $C^*$-模的性质刻画紧算子 $C^*$-代数的方法，特别是闭子模的正交补性质。
• 作者利用 $C^*$-代数中的算子理论结果，包括乘子代数理论以及双对偶 $\mathcal{A}^{**}$ 中的开投影，将模的结构性质与 $\mathcal{A}$ 上的代数条件联系起来。
• 通过正则化与对偶性，将有界广义逆的已知结果（例如：有界伴随算子存在有界广义逆当且仅当其值域闭）推广至无界情形。
• 利用正规算子理论与希尔伯特 $C^*$-模中的闭值域条件，推导出极分解存在性与广义逆存在性之间的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，希尔伯特 $C^*$-模上的无界正规算子存在极分解？
• RQ2 广义逆的存在性与 $t$ 和 $|t|$ 的值域的闭包是否正交补之间存在何种关系？
• RQ3 对于哪些 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$，所有希尔伯特 $\mathcal{A}$-模之间的定义稠密的闭算子均存在极分解？
• RQ4 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 的性质（如为紧算子的 $C^*$-代数）如何影响广义逆与极分解的存在性？
• RQ5 希尔伯特 $C^*$-模的何种结构条件可保证每个闭子模均为正交直和项？

主要发现

• 希尔伯特 $C^*$-模上无界正规算子 $t$ 存在极分解当且仅当 $\operatorname{Ran}(t)$ 和 $\operatorname{Ran}(|t|)$ 的闭包均为正交补子模。
• 算子 $t$ 存在极分解当且仅当 $t$ 及其伴随算子 $t^*$ 均存在无界正规广义逆。
• 所有定义稠密的闭算子在希尔伯特 $C^*$-模之间存在极分解当且仅当底层 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 是紧算子的 $C^*$-代数。
• 相同的 $\mathcal{A}$ 条件也确保所有此类算子存在广义逆。
• 当且仅当 $\mathcal{A}$ 是紧算子的 $C^*$-代数时，任一希尔伯特 $\mathcal{A}$-模的每个闭子模均为正交补子模。
• 该结果将希尔伯特空间中已知的事实推广至希尔伯特 $C^*$-模的一般情形，其中部分结果在希尔伯特空间情形亦为新发现。