[论文解读] Generalized Kähler Einstein metrics and uniform stability for toric Fano manifolds

Satoshi Nakamura|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 5

一句话总结

该论文在极小化 Fano 流形上建立了广义 Kähler-Einstein 度量的存在性、一致相对 Ding 稳定性以及修正 Ding 泛函的恰当性之间的完全等价关系。通过辛几何与 Legendre 对偶性，作者证明这些条件均等价于全纯不变量 $\alpha_X < 1$，从而在基灵模空间中通过几何不变理论与泛函恰当性，给出了此类度量存在的完整判别准则。

ABSTRACT

We give a complete criterion for the existence of generalized Kähler Einstein metrics on toric Fano manifolds from view points of a uniform stability in a sense of GIT and the properness of a functional on the space of Kähler metrics.

研究动机与目标

• 在极小化 Fano 流形上建立广义 Kähler-Einstein 度量存在的完整判别准则。
• 将存在性问题与几何不变理论（GIT）意义下的统一稳定性联系起来。
• 将此类度量的存在性与基灵度量空间上修正 Ding 泛函的恰当性联系起来。
• 推广极小化 Fano 流形上的统一相对 Ding 稳定性概念，并证明其与度量存在的等价性。

提出的方法

• 利用辛势 $u$ 和基灵势 $\phi$，通过 Legendre 对偶性，参数化极小化 Fano 流形上的 $S^1$-不变基灵度量。
• 引入修正 Ding 泛函，并证明其恰当性等价于广义 Kähler-Einstein 度量的存在性。
• 应用通过 $u$ 与线性函数 $l$ 构造的下界定义的统一相对 Ding 稳定性条件。
• 使用逼近序列的极限论证，其中凸函数收敛于顶点处的 Dirac 测度，以证明 $l > 0$ 在 $\overline{\Delta}$ 上成立。
• 利用 Berman-Berndtsson 关于实 Monge-Ampère 方程的结果，从 $l > 0$ 推出关键方程 (2.2) 的可解性。
• 建立四个条件之间的等价性：度量存在性、$\alpha_X < 1$、统一相对 Ding 稳定性以及修正 Ding 泛函的恰当性。

实验结果

研究问题

• RQ1 统一相对 Ding 稳定性是否蕴含极小化 Fano 流形上广义 Kähler-Einstein 度量的存在性？
• RQ2 修正 Ding 泛函的恰当性是否与该类度量的存在性等价？
• RQ3 全纯不变量 $\alpha_X < 1$ 是否能通过稳定性与泛函恰当性得到完全刻画？
• RQ4 统一相对 Ding 稳定性条件与支撑多面体 $\Delta$ 的几何之间有何关系？
• RQ5 函数 $l$ 在广义 Kähler-Einstein 方程可解性中起何精确作用？

主要发现

• 在极小化 Fano 流形上，存在唯一一个 $S^1$-不变的广义 Kähler-Einstein 度量，当且仅当 $\alpha_X < 1$。
• 统一相对 Ding 稳定性（定义 3.1）与广义 Kähler-Einstein 度量的存在性等价。
• 修正 Ding 泛函恰当当且仅当广义 Kähler-Einstein 度量存在。
• 在 $\overline{\Delta}$ 上满足 $l > 0$ 是关键方程 (2.2) 可解性的必要且充分条件，该方程控制着度量的构造。
• 证明建立了如下蕴含链：$\alpha_X < 1 \Rightarrow \text{统一相对 Ding 稳定性} \Rightarrow \text{修正 Ding 泛函的恰当性} \Rightarrow \text{度量存在性}$。
• 通过构造收敛于顶点处 Dirac 测度的逼近凸函数 $v_i$，极限论证可推出在每个顶点 $p$ 处均有 $l(p) > 0$。