[论文解读] Generalized Krein formula and determinants for even dimensional Poincare-Einstein manifolds

Colin Guillarmou|ArXiv.org|Dec 8, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用 6

一句话总结

本文为偶数维Poincaré-Einstein流形发展了一套广义的Birman-Krein理论，引入了重整化的谱函数 $\xi(z)$ 和散射算子 $\det S_X(\lambda)$ 的正则化行列式。研究证明 $\det S_X(\lambda)$ 在 $\lambda$ 上亚纯，其极点与零点分别对应于共振态的重数和共形拉普拉斯算子核的维度，并建立了将Selberg zeta函数 $Z(\lambda)$ 与 $\det S_X(\lambda)$ 联系起来的函数方程，从而导出了 $\xi(z)$ 的精确Weyl渐近行为。

ABSTRACT

For a class of even dimensional conformally compact manifolds (X,g), we define a generalized Krein spectral function by applying a renormalized trace functional to the spectral measure of the Laplacian. We then show that this is the phase of the Kontsevich-Vishik determinant det S(s) of the scattering operator S(s) of (the Laplacian of) g and we analyze the divisors of det(S(s)). As an application for convex co-compact hyperbolic quotients, we obtain a functional equation for Selberg's Zeta function Z(s), we express the determinant of the GJMS conformal Laplacians of the conformal infinity of (X,g) in term of particular values of Z(s), and we show a sharp Weyl type asymptotic for the Krein function.

研究动机与目标

• 将Birman-Krein理论推广至具有非紧几何结构的无限体积、偶数维渐近双曲流形。
• 定义一个正则化的谱函数 $\xi(z)$，以在无限体积情形下推广特征值计数函数。
• 在共形无穷远处构造散射算子 $S_X(\lambda)$ 的亚纯正则化行列式 $\det S_X(\lambda)$。
• 建立一个函数方程，将Selberg zeta函数 $Z(\lambda)$ 与散射行列式联系起来，揭示谱与拓扑数据。
• 通过 $\det S_X(\frac{n}{2} + iz)$ 的相位，推导出谱函数 $\xi(z)$ 的精确Weyl渐近行为。

提出的方法

• 在流形 $X$ 的体内引入重整化迹，通过重整化解析延拓的迹来定义谱函数 $\xi(z)$。
• 应用Kontsevich-Vishik正则化方法，定义共形边界 $\partial\bar{X}$ 上散射算子 $S_X(\lambda)$ 的行列式。
• 利用格林函数在共形无穷远处的渐近展开，处理积分中的发散性，并定义正则化迹。
• 将散射算子 $S_X(\lambda)$ 构造为共形边界 $\partial\bar{X}$ 上的拟微分算子，其谱数据与流形 $X$ 的几何紧密相关。
• 证明 $\det S_X(\lambda)$ 在 $\lambda$ 上亚纯，其极点与零点分别对应于共振态重数和GJMS算子 $P_k$ 的核空间维度。
• 建立函数方程 $Z(\lambda)/Z(n - \lambda) = (\det S_{\mathbb{H}^{n+1}}(\lambda))^{\chi(X)}/\det S_X(\lambda)$，适用于凸共(compact)商 $X = \Gamma \backslash \mathbb{H}^{n+1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Birman-Krein理论推广至拉普拉斯算子具有连续谱的无限体积、偶数维渐近双曲流形？
• RQ2 在缺乏有限秩散射算子的情形下，散射行列式 $\det S_X(\lambda)$ 的正确正则化方式是什么？
• RQ3 Selberg zeta函数 $Z(\lambda)$ 的极点与零点如何与散射算子的谱与拓扑数据相关联？
• RQ4 能否推导出一个统一的函数方程，将偶数维情形下的Selberg zeta函数与散射行列式联系起来？
• RQ5 谱函数 $\xi(z)$ 的渐近行为如何？其与 $\det S_X(\frac{n}{2} + iz)$ 的相位有何关系？

主要发现

• 正则化行列式 $\det S_X(\lambda)$ 在 $\lambda$ 上亚纯，其极点与零点分别对应于共形边界上GJMS算子 $P_k$ 的共振态重数与核空间维度。
• 谱函数 $\xi(z)$ 被识别为 $\det S_X(\frac{n}{2} + iz)$ 在本质谱 $\mathbb{R}^+$ 上的相位，从而直接与散射数据关联。
• 对于凸共(compact)商 $X = \Gamma \backslash \mathbb{H}^{n+1}$，函数方程 $Z(\lambda)/Z(n - \lambda) = (\det S_{\mathbb{H}^{n+1}}(\lambda))^{\chi(X)}/\det S_X(\lambda)$ 成立，将zeta函数与散射行列式联系起来。
• GJMS算子 $P_k$ 的行列式被计算为 $\det P_k = Z(\frac{n}{2} - k)/Z(\frac{n}{2} + k)$，为zeta函数值提供了谱解释。
• 建立了 $\xi(z)$ 的精确Weyl渐近行为，表明当 $z \to \infty$ 时有 $\xi(z) \sim c z^n$，其中常数 $c$ 由流形 $X$ 的几何结构显式导出。
• 由于角变量中奇对称性，散射算子对数奇点的重整化迹为零，确保了正则化过程的一致性。