[论文解读] Generalized Mittag Leffler distributions arising as limits in preferential attachment models

Lancelot F. James|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 53被引用 10

一句话总结

本文确立了广义 Mittag-Leffler 分布作为线性加权 preferential attachment 模型中的缩放极限，特别将其与两参数的 Poisson-Dirichlet 分布 PD(α,θ) 联系起来。研究证明，此类模型中极限度序列收敛于涉及 $ S^{-\theta}_{\theta,\theta+r} $ 的分布，且与共聚过程及嵌套 Chinese restaurant 分区存在明确联系，尤其在 $ \alpha = 1/2 $ 时。其主要贡献是通过时变非时齐马尔可夫链与稳定随机变量，建立了一个统一的理论框架来理解这些极限。

ABSTRACT

For $0-α,$ let $(S^{-α}_{α,θ+r})_{\{r\ge 0\}}$ denote an increasing(decreasing) sequence of variables forming a time inhomogeneous Markov chain whose marginal distributions are equivalent to generalized Mittag Leffler distributions. We exploit the property that such a sequence may be connected with the two parameter $(α,θ)$ family of Poisson Dirichlet distributions. We demonstrate that the sequences serve as limits in certain types of preferential attachment models. As one illustrative application, we describe the explicit joint limiting distribution of scaled degree sequences arising under a class of linear weighted preferential attachment models as treated in Móri (2005), with weight $β>-1.$ When $β=0$ this corresponds to the Barbasi-Albert preferential attachment model. We then construct sequences of nested $(α,θ)$ Chinese restaurant partitions of $[n]$. From this, we identify and analyze relevant quantities that may be thought of as mimics for vectors of degree sequences, or differences in tree lengths. We also describe connections to a wide class of continuous time coalescent processes that can be seen as a variation of stochastic flows of bridges related to generalized Fleming-Viot models. Under a change of measure our results suggest the possibilities for identification of limiting distributions related to consistent families of nested Gibbs partitions of $[n]$ that would otherwise be difficult by methods using moments or Laplace transforms. In this regard, we focus on special simplifications obtained in the case of $α=1/2.$ That is to say, limits derived from a $\mathrm{PD}(1/2|t)$ distribution. Throughout we present some distributional results that are relevant to various settings. We describe nestings across the $α$ parameter in section 6

研究动机与目标

• 确定线性加权优先连接模型（权重 $ \beta > -1 $）中缩放度序列的极限联合分布。
• 将广义 Mittag-Leffler 变量 $ S^{-\theta}_{\theta,\theta+r} $ 与两参数 Poisson-Dirichlet 分布 PD(α,θ) 及其相关的交换性分区结构相联系。
• 为嵌套 Chinese restaurant 过程与共聚算子建立一个框架，以建模随机树生长过程中演化度序列的行为。
• 利用稳定分布与 Beta-Gamma 代数，推导分布恒等式与缩放极限，尤其针对 $ \alpha = 1/2 $ 的情形。

提出的方法

• 使用索引为 $ r \geq 0 $ 的时变非时齐马尔可夫链，其边缘分布等价于广义 Mittag-Leffler 分布 $ S^{-\theta}_{\theta,\theta+r} $，以建模演化度序列。
• 应用多项式倾斜法处理稳定密度，定义 $ f_{\alpha,\theta}(t) = c_{\alpha,\theta} t^{-\theta} f_\alpha(t) $，并将其与 Laplace 变换 $ \mathbb{E}[e^{-\omega S_{\alpha,\theta}}] $ 联系起来。
• 利用 Pitman-Yor Chinese restaurant 过程与 PD(α,θ) 框架推导渐近结果，证明当 $ n \to \infty $ 时，$ n^{-\alpha} K_n \to S^{-\alpha}_{\alpha,\theta} $ 几乎必然成立。
• 利用共聚算子与局部时恒等式，描述嵌套分区中块结构的演化，其中 $ S^{-\delta}_{\delta,\theta/\alpha} $ 与 Beta 和 Gamma 变量相关联。
• 应用测度变换技术，识别一致嵌套 Gibbs 分区族中的极限分布，避免依赖矩或 Laplace 变换方法。
• 通过 Beta 与稳定变量的乘积，推导出 $ S^{-\alpha\delta}_{\alpha,\theta+r} $ 的显式分布恒等式，尤其在 $ \alpha = 1/2 $ 时，有 $ S^{-1/2}_{1/2,\theta} \overset{d}{=} 2G^{1/2}_{\theta+1/2} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在线性加权优先连接模型中，当度序列按 $ n^\alpha $ 缩放时，其联合行为在渐近下如何表现？
• RQ2 在 PD(α,θ) 对 [n] 的划分中，块数 $ K_n $ 按 $ n^\alpha $ 缩放后的精确极限分布是什么？
• RQ3 广义 Mittag-Leffler 变量 $ S^{-\alpha}_{\alpha,\theta} $ 如何通过与稳定分布及 Beta-Gamma 代数的联系来表征？
• RQ4 嵌套 Chinese restaurant 过程与共聚算子在建模演化度序列与树长差异方面起什么作用？
• RQ5 在交换性抽样机制中，是否可以不依赖矩或 Laplace 变换方法识别极限分布，特别是针对 $ \alpha = 1/2 $ 的情形？

主要发现

• 在权重 $ \beta > -1 $ 的线性加权优先连接模型中，缩放度序列的联合极限分布由序列 $ (S^{-\alpha}_{\alpha,\theta+r})_{r \geq 0} $ 描述，该序列构成一个具有广义 Mittag-Leffler 边缘分布的时变非时齐马尔可夫链。
• 当 $ n \to \infty $ 时，$ n^{-\alpha} K_n \to S^{-\alpha}_{\alpha,\theta} $ 几乎必然成立，其中 $ K_n $ 是 [n] 上 PD(α,θ) 划分中的块数。
• 当 $ \alpha = 1/2 $ 时，$ S^{-1/2}_{1/2,\theta} \overset{d}{=} 2G^{1/2}_{\theta+1/2} $，其中 $ G_{\theta+1/2} $ 为 Gamma 分布随机变量，从而实现显式计算与简化。
• 序列 $ (S^{-\alpha}_{\alpha,\theta+r})_{r \geq 0} $ 作为一类递归树模型的极限出现，并与广义 Bessel 过程的局部时间相关联。
• 通过 Beta-Gamma-稳定代数推导出分布恒等式，包括 $ S^{-\alpha\delta}_{\alpha,\theta+r} = S^{-\alpha\delta}_{\alpha,\theta+r-1} B^{-\delta}_{(\frac{\theta+r-1+\alpha}{\alpha}, \frac{1-\alpha}{\alpha})} \cdot B_{(\frac{\theta+r-1+\alpha\delta}{\alpha\delta}, \frac{1-\alpha\delta}{\alpha\delta})} $，揭示其递归结构。
• 该框架通过测度变换技术，使嵌套 Gibbs 分区中的极限分布得以识别，绕过了传统的基于矩或 Laplace 变换的方法。