[论文解读] The Mittag-Leffler process and a scaling limit for the block counting process of the Bolthausen-Sznitman coalescent

Martin Möhle|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用 19

一句话总结

本文引入了 Mittag-Leffler 过程，这是一种具有 Mittag-Leffler 分布边沿分布的时齐马尔可夫过程，并证明了 Bolthausen-Sznitman 灾难过程的缩放块计数过程在样本量 $ n \to \infty $ 时，依斯科罗霍德拓扑弱收敛于该过程。证明了缩放 $ n^{e^{-t}} $ 为非退化收敛的临界尺度，且通过其半群和联合矩刻画了极限过程。

ABSTRACT

The Mittag-Leffler process $X=(X_t)_{t\ge 0}$ is introduced. This Markov process has the property that its marginal random variables $X_t$ are Mittag-Leffler distributed with parameter $e^{-t}$, $t\in [0,\infty)$, and the semigroup $(T_t)_{t\ge 0}$ of $X$ satisfies $T_tf(x)={\mathbb E}(f(x^{e^{-t}}X_t))$ for all $x\ge 0$ and all bounded measurable functions $f:[0,\infty) o{\mathbb R}$. Further characteristics of the process $X$ are derived, for example an explicit formula for the joint moments of its finite dimensional distributions. The main result states that the block counting process of the Bolthausen-Sznitman $n$-coalescent, properly scaled, converges in the Skorohod topology to the Mittag-Leffler process $X$ as the sample size $n$ tends to infinity.

研究动机与目标

• 定义并刻画一种新的随机过程——Mittag-Leffler 过程，其边沿分布为 Mittag-Leffler 分布，且具有特定的半群结构。
• 建立 Bolthausen-Sznitman $ n $-灾难过程的缩放块计数过程在 $ n \to \infty $ 时弱收敛于 Mittag-Leffler 过程。
• 通过证明其导致非退化极限，来证明非标准时变缩放 $ n^{e^{-t}} $ 的合理性。
• 推导 Mittag-Leffler 过程有限维分布的联合矩的显式公式。

提出的方法

• 通过其半群 $ T_t f(x) = \mathbb{E}[f(x^{e^{-t}} X_t)] $ 定义 Mittag-Leffler 过程 $ X = (X_t)_{t \geq 0} $，其中 $ X_t $ 为参数为 $ e^{-t} $ 的 Mittag-Leffler 分布。
• 利用半群在紧支集连续有界函数空间上的 Feller 性质和强连续性，证明过程 $ X $ 的存在性。
• 利用矩母函数和 Mittag-Leffler 分布的性质，推导出 $ X $ 的联合矩的显式公式。
• 通过块计数过程 $ N^{(n)} $ 的生成元的谱分解，推导出其矩的精确表达式，包括 $ \mathbb{E}[N_t^{(n)}] = \frac{\Gamma(n + e^{-t})}{\Gamma(n)\Gamma(1 + e^{-t})} $。
• 通过验证有限维分布收敛性和紧致性，证明缩放过程 $ X_t^{(n)} = N_t^{(n)} / n^{e^{-t}} $ 在斯科罗霍德拓扑下弱收敛于 $ X_t $。
• 证明极限过程 $ X $ 是时齐的，而有限 $ n $ 的缩放过程 $ X^{(n)} $ 是时非齐的，表明其具有渐近时齐性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bolthausen-Sznitman 灾难过程的块计数过程应采用何种正确缩放，才能在 $ n \to \infty $ 时得到非退化极限？
• RQ2 能否构造一种新的随机过程，使其有限维分布与缩放块计数过程的极限行为相匹配？
• RQ3 极限过程的关键概率和分析性质是什么，例如其半群和矩结构？
• RQ4 极限过程与已知过程（如自回归 Mittag-Leffler 过程）有何关系？
• RQ5 缩放块计数过程在斯科罗霍德拓扑下收敛于极限过程是否成立？

主要发现

• 缩放块计数过程 $ X_t^{(n)} = N_t^{(n)} / n^{e^{-t}} $ 在 $ n \to \infty $ 时依斯科罗霍德拓扑依分布收敛于 Mittag-Leffler 过程 $ X $。
• 极限过程 $ X_t $ 的边沿分布为参数为 $ e^{-t} $ 的 Mittag-Leffler 分布，其所有矩为 $ \mathbb{E}[X_t^m] = m! / \Gamma(1 + m e^{-t}) $。
• Mittag-Leffler 过程的半群由 $ T_t f(x) = \mathbb{E}[f(x^{e^{-t}} X_t)] $ 给出，该公式刻画了马尔可夫性质和转移机制。
• 通过 Mittag-Leffler 分布的矩母函数推导出的公式，显式计算了 $ X $ 的有限维分布的联合矩。
• 极限过程 $ X $ 是时齐的，即使有限 $ n $ 的缩放过程 $ X^{(n)} $ 是时非齐的，表明其具有渐近时齐性。
• 对数块计数过程 $ \log N_t^{(n)} - e^{-t} \log n $ 收敛于 $ \log X_t $，突显了对数缩放在灾难过程中的作用。