[论文解读] Generalized multiscale finite element methods for space-time heterogeneous parabolic equations

Eric T. Chung, Yalchin Efendiev+2 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种广义多尺度有限元方法（GMsFEM），用于空间-时间非分离尺度的异质抛物方程，采用空间-时间粗网格单元。通过带有随机边界条件和超采样技术的局部问题构造空间-时间快照空间与离线空间，实现低维粗网格空间下的高精度解，并通过在线基函数结合残差信息实现快速收敛。

ABSTRACT

In this paper, we consider local multiscale model reduction for problems with multiple scales in space and time. We developed our approaches within the framework of the Generalized Multiscale Finite Element Method (GMsFEM) using space-time coarse cells. The main idea of GMsFEM is to construct a local snapshot space and a local spectral decomposition in the snapshot space. Previous research in developing multiscale spaces within GMsFEM focused on constructing multiscale spaces and relevant ingredients in space only. In this paper, our main objective is to develop a multiscale model reduction framework within GMsFEM that uses space-time coarse cells. We construct space-time snapshot and offline spaces. We compute these snapshot solutions by solving local problems. A complete snapshot space will use all possible boundary conditions; however, this can be very expensive. We propose using randomized boundary conditions and oversampling. We construct the local spectral decomposition based on our analysis, as presented in the paper. We present numerical results to confirm our theoretical findings and to show that using our proposed approaches, we can obtain an accurate solution with low dimensional coarse spaces. We remark that the proposed method is a significant extension compared to existing methods, which use coarse cells in space only because of (1) the parabolic nature of cell solutions, (2) extra degrees of freedom associated with space-time cells, and (3) local boundary conditions in space-time cells.

研究动机与目标

• 为具有非可分尺度的空间-时间异质抛物问题，开发一种系统化的多尺度模型降阶框架。
• 将GMsFEM从仅空间的粗网格单元扩展至包含时间的多尺度基构造中。
• 解决由抛物型解的性质、空间-时间单元中自由度增加以及复杂局部边界条件带来的挑战。
• 通过低维粗网格空间实现对高对比度、多尺度抛物问题的精确且高效求解。

提出的方法

• 通过在空间-时间粗网格块上求解所有可能边界条件的局部问题，构建空间-时间快照空间。
• 采用随机边界条件和超采样技术，降低完整快照空间构造的计算成本。
• 对快照空间进行局部谱分解，提取主导模式以构建离线空间。
• 利用基于残差信息的在线基函数对解进行校正，加速收敛。
• 采用具有时间依赖系数的空间-时间变分公式，捕捉耦合的空间-时间动力学。
• 集成离线与在线阶段：离线阶段用于基函数生成，在线阶段通过残差驱动的校正实现自适应增强。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在GMsFED框架内，为具有空间与时间多尺度的抛物方程，构建系统化的时空多尺度模型降阶框架？
• RQ2 如何在时空粗网格单元中有效构造快照空间与离线空间，以捕捉多尺度特征？
• RQ3 随机边界条件与超采样对时空GMsFEM的精度与效率有何影响？
• RQ4 基于残差信息的在线基函数如何改善在线阶段的收敛性？
• RQ5 所提出方法在高对比度、异质抛物问题上的理论与数值表现如何？

主要发现

• 所提出的时空GMsFEM在使用低维粗网格空间的情况下，实现了高精度解，与精细尺度模拟相比显著降低了计算成本。
• 随机边界条件与超采样技术使得无需考虑所有可能边界条件，即可高效构造快照空间。
• 基于残差信息生成的在线基函数，与足够多的离线基函数结合后，可加速收敛并提高精度。
• 数值结果验证了理论收敛速率，并在高对比度与非可分尺度问题中表现出鲁棒性能。
• 与仅使用空间粗网格单元的现有方法相比，该方法表现更优，尤其在具有强时间异质性与耦合空间-时间动力学的问题中。