[论文解读] Residual-driven online Generalized Multiscale Finite Element Methods

Eric T. Chung, Yalchin Efendiev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 24被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于残差的在线广义多尺度有限元方法（GMsFEM），通过利用局部残差自适应地增强多尺度基函数，以捕捉离线构造中遗漏的远距离效应。当离线空间满足在线误差降低性质（ONERP）时，该方法可确保对比度无关的误差减少，数值验证表明在高对比度介质中具有快速收敛的自适应增强效果。

ABSTRACT

The construction of local reduced-order models via multiscale basis functions has been an area of active research. In this paper, we propose online multiscale basis functions which are constructed using the offline space and the current residual. Online multiscale basis functions are constructed adaptively in some selected regions based on our error indicators. We derive an error estimator which shows that one needs to have an offline space with certain properties to guarantee that additional online multiscale basis function will decrease the error. This error decrease is independent of physical parameters, such as the contrast and multiple scales in the problem. The offline spaces are constructed using Generalized Multiscale Finite Element Methods (GMsFEM). We show that if one chooses a sufficient number of offline basis functions, one can guarantee that additional online multiscale basis functions will reduce the error independent of contrast. We note that the construction of online basis functions is motivated by the fact that the offline space construction does not take into account distant effects. Using the residual information, we can incorporate the distant information provided the offline approximation satisfies certain properties. In the paper, theoretical and numerical results are presented. Our numerical results show that if the offline space is sufficiently large (in terms of the dimension) such that the coarse space contains all multiscale spectral basis functions that correspond to small eigenvalues, then the error reduction by adding online multiscale basis function is independent of the contrast. We discuss various ways computing online multiscale basis functions which include a use of small dimensional offline spaces.

研究动机与目标

• 开发一种局部自适应的多尺度模型降尺度技术，通过引入离线基函数中未捕捉的全局效应来提高精度。
• 解决离线GMsFEM的局限性，即由于完全局部构造而无法考虑远距离效应。
• 建立理论和数值条件，使在线基函数的误差降低独立于对比度和多尺度非均质性。
• 提出一种实用且计算高效的在线基函数计算策略，基于残差增强。
• 验证离线空间的维度足够——特别是包含小特征值对应特征向量——对于有效在线增强至关重要。

提出的方法

• 在选定的粗粒度区域中，通过求解基于残差的局部问题来构建在线多尺度基函数。
• 每个局部问题的右端项来源于当前解的残差，以捕捉未建模的全局效应。
• 基于残差的加权H⁻¹-范数的后验误差指标，指导在误差较高的区域进行自适应增强。
• 该方法要求离线空间满足在线误差降低性质（ONERP），其依赖于包含对应于小特征值的特征向量。
• 在线基函数通过降维的快照空间（例如，下一组特征向量）计算，通过引入邻近区域信息可进一步提升性能。
• 一种自适应策略根据残差减少效果，为每个区域选择最有效的基函数类型（例如，特征向量与多项式对比）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，添加在线多尺度基函数可保证GMsFEM中误差的对比度无关减少？
• RQ2 离线空间的维度和谱内容如何影响在线增强的有效性？
• RQ3 基于残差的在线基函数能否有效捕捉局部离线构造中未体现的远距离效应？
• RQ4 使用降维快照空间对在线增强的收敛速度有何影响？
• RQ5 如何通过基于残差减少的自适应选择基函数类型（特征向量与多项式）来提升异质介质中的精度？

主要发现

• 仅当离线空间满足在线误差降低性质（ONERP）时，添加在线基函数才能实现与对比度无关的误差减少。
• 未包含在离线空间中的最小特征值所对应的特征向量，控制着误差衰减速率；此类特征值越大，误差减少越快。
• 数值结果表明，若离线基函数不足（尤其是小特征值对应的基函数），即使进行大量迭代，在线增强也仅带来极小的误差减少。
• 仅使用每个区域的下一组10–50个快照向量会导致收敛缓慢，但若使用40个下一组向量并结合邻近区域信息，可恢复快速收敛。
• 基于残差减少效果，自适应选择基函数类型（例如，在异质区域使用特征向量，在均质区域使用多项式）可提升精度与效率。
• 当离线空间包含所有与小特征值相关的多尺度谱基函数时，该方法可实现快速误差衰减，从而在高对比度介质中表现出鲁棒性能。