[论文解读] Generalized phase retrieval : measurement number, matrix recovery and beyond

Yang Wang, Zhiqiang Xu|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文提出了一种广义相位恢复框架，能够从二次测量 $\mathbf{x}^*A_j\mathbf{x}$ 中以模为1的常数为单位恢复向量，统一了标准相位恢复与通过正交投影的相位恢复。该文建立了所需最小测量数的紧致界，表明在实数情况下 $N \geq 2d-1$，在复数情况下 $N \geq 4d-4$，对于通用矩阵成立；并通过代数几何与拓扑嵌入理论，推导出特定维度下的精确值。

ABSTRACT

In this paper, we develop a framework of generalized phase retrieval in which one aims to reconstruct a vector ${\mathbf x}$ in ${\mathbb R}^d$ or ${\mathbb C}^d$ through quadratic samples ${\mathbf x}^*A_1{\mathbf x}, \dots, {\mathbf x}^*A_N{\mathbf x}$. The generalized phase retrieval includes as special cases the standard phase retrieval as well as the phase retrieval by orthogonal projections. We first explore the connections among generalized phase retrieval, low-rank matrix recovery and nonsingular bilinear form. Motivated by the connections, we present results on the minimal measurement number needed for recovering a matrix that lies in a set $W\in {\mathbb C}^{d imes d}$. Applying the results to phase retrieval, we show that generic $d imes d$ matrices $A_1,\ldots, A_N$ have the phase retrieval property if $N\geq 2d-1$ in the real case and $N \geq 4d-4$ in the complex case for very general classes of $A_1,\ldots,A_N$, e.g. matrices with prescribed ranks or orthogonal projections. Our method also leads to a novel proof for the classical Stiefel-Hopf condition on nonsingular bilinear form. We also give lower bounds on the minimal measurement number required for generalized phase retrieval. For several classes of dimensions $d$ we obtain the precise values of the minimal measurement number. Our work unifies and enhances results from the standard phase retrieval, phase retrieval by projections and low-rank matrix recovery.

研究动机与目标

• 开发一个统一的广义相位恢复框架，扩展标准相位恢复与正交投影下的相位恢复。
• 确定唯一恢复 $\mathbf{x} \in \mathbb{F}^d$ 至模为1常数的最小测量数 $N$，基于二次测量 $\mathbf{x}^*A_j\mathbf{x}$。
• 将广义相位恢复与低秩矩阵恢复及非奇异双线性型联系起来，利用代数几何与拓扑嵌入理论。
• 推导特定维度下最小测量数 $\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}(d)$ 的精确值，包括 $d = 2^k+1$，$d = 2^k+2$ 及其他结构化情形。
• 通过广义相位恢复框架与拓扑嵌入理论，提供经典 Stiefel-Hopf 条件的全新证明。

提出的方法

• 将广义相位恢复形式化为映射 $\mathbf{M}_{\mathcal{A}}: \underline{\mathbb{F}^d} \to \mathbb{R}^N$，定义为 $\mathbf{M}_{\mathcal{A}}(\underline{\mathbf{x}}) = (\mathbf{x}^*A_1\mathbf{x}, \dots, \mathbf{x}^*A_N\mathbf{x})$，其中 $A_j \in \mathbf{H}_d(\mathbb{F})$。
• 使用雅可比准则（定理 2.2）刻画相位恢复：当且仅当 $\mathcal{A}$ 的实雅可比矩阵在 $\mathbb{F}^d \setminus \{0\}$ 上具有满秩 $2d-1$（实数情形）或 $4d-4$（复数情形）时，$\mathcal{A}$ 具有相位恢复性质。
• 应用代数几何与拓扑嵌入的结果，特别是 $\mathbb{P}(\mathbb{C}^d)$ 无法嵌入 $\mathbb{R}^{4(d-1)-2\alpha+\epsilon_\alpha}$ 的结论，推导 $N$ 的下界。
• 通过测量映射 $\mathbf{M}_{\mathcal{A}}$ 构造一个拓扑嵌入 $\psi: \mathbb{P}(\mathbb{C}^d) \to \mathbb{S}^{N-1}(\mathbb{R})$，并利用光滑嵌入定理推导 $N$ 的必要条件。
• 将非奇异双线性型的 Stiefel-Hopf 条件作为关键工具推导下界，并证明在 $N \geq 4d-4$ 的界中，当 $d$ 取特定值时等号成立。
• 分析解空间 $\{Q \in \mathbb{C}^{d \times d} : \operatorname{Tr}(A_j Q) = 0 \text{ 对所有 } j\}$ 的结构，以验证小 $d$ 情形（包括 $d=2$）下的相位恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义相位恢复框架下，唯一恢复 $\mathbf{x} \in \mathbb{F}^d$ 至模为1常数所需的最小二次测量数 $N$ 是多少？
• RQ2 广义相位恢复框架如何统一标准相位恢复、通过投影的相位恢复以及低秩矩阵恢复？
• RQ3 对于特定维度 $d = 2^k+1$，$d = 2^k+2$ 及其他结构形式，最小测量数 $\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}(d)$ 的精确值是什么？
• RQ4 经典 Stiefel-Hopf 条件（关于非奇异双线性型）能否作为广义相位恢复框架的推论？
• RQ5 可使用哪些拓扑与代数几何工具推导测量数 $N$ 的紧致下界？

主要发现

• 对于通用的 $d \times d$ 矩阵 $A_1, \dots, A_N$，当 $N \geq 2d-1$（实数情形）或 $N \geq 4d-4$（复数情形）时，相位恢复性质成立，适用于具有指定秩或正交投影的矩阵。
• 当 $d = 2^k + 1$（$k > 1$）时，最小测量数 $\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}(d)$ 恰好为 $4d-4$；当 $d = 2^k + 2$（$k > 1$）时，为 $4d-6$；当 $d = 2^k + 2^j + 1$（$k > j > 1$）时，为 $4d-5$；当 $d = 2^k + 2^j + 2^l + 1$（$k > j > l > 1$）时，为 $4d-6$。
• 当 $d = 2$ 时，最小测量数为 $\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}(2) = 3$，严格小于标准相位恢复的界 $4d - 4 = 4$，凸显了广义相位恢复中的关键差异。
• 本文通过广义相位恢复框架与拓扑嵌入理论，提供了经典 Stiefel-Hopf 条件的全新证明。
• 利用 $\mathbb{P}(\mathbb{C}^d)$ 无法嵌入 $\mathbb{R}^{4(d-1)-2\alpha+\epsilon_\alpha}$ 的结论，推导出下界 $\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}(d) \geq 4d - 2 - 2\alpha + \epsilon_\alpha$，且在 $d$ 满足特定算术条件时等号成立。
• 本研究统一并增强了先前在标准相位恢复、通过投影的相位恢复以及低秩矩阵恢复方面的工作，提供了共同的理论基础与更紧致的界。