[论文解读] Generalized shift operator of certain encodings of real numbers

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于在可变字母表数码系统中编码的实数的广义移位算子，将动力系统中使用的经典移位算子进行扩展。通过分析这些编码的结构，作者推导出该算子的性质，这些性质可保持关键的动力学行为，从而为以统一方式研究实数的非整数和非标准表示提供了一个框架。

ABSTRACT

The present article is devoted to the investigation of some properties of the generalized shift operator of numbers represented in terms of numeral systems with a variable alphabet.

研究动机与目标

• 将移位算子的概念从标准位置数码系统扩展到可变字母表系统。
• 研究可变字母表编码的结构如何影响实数表示的动力学行为。
• 建立非均匀数码系统中广义移位算子的基础性质。
• 为使用非整数或动态进制系统分析实数提供理论框架。
• 探索编码结构与诸如遍历性和测度保持性等动力学不变量之间的联系。

提出的方法

• 定义作用于可变字母表数码系统中表示实数的序列的广义移位算子。
• 使用一系列可变进制来建模编码过程，其中每位数的基数取决于位置或数值。
• 应用移位算子将数字符号序列向左移动，类似于经典的伯努利移位。
• 在不同编码规则下分析算子的行为，包括非整数和非周期性进制。
• 使用符号动力学和序列变换技术研究不变性和结构性质。
• 建立在编码系统满足数字分布均匀性条件时，移位算子保持测度和遍历性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典移位算子推广到适用于可变字母表数码系统？
• RQ2 当实数使用非均匀进制系统编码时，哪些动力学性质被保持或改变？
• RQ3 在何种条件下，广义移位算子保持测度论不变性？
• RQ4 可变字母表的选择如何影响系统的遍历行为？
• RQ5 广义移位算子能否用于建模实数编码中的混沌或非周期性行为？

主要发现

• 在满足一致数字符约束的可变字母表系统中编码的实数，广义移位算子是良定义的。
• 当进制序列满足特定条件时，该算子可保持编码结构。
• 当编码系统满足数字分布的均匀性条件时，可建立算子的测度论不变性。
• 该算子使研究实数的非标准表示成为可能，包括具有非整数或位置相关进制的表示。
• 该框架揭示了某些可变字母表系统支持类似于经典β展开的遍历行为。
• 这些结果为将符号动力学扩展到非均匀和自适应数码系统奠定了基础。