[论文解读] Generalized Stirling Numbers and Generalized Stirling Functions

Tian-Xiao He|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文通过广义阶乘函数、k-伽马函数和差分，提出了一种广义斯特林数与函数的统一框架。该框架将经典的第一类与第二类斯特林数及其众多已知推广形式统一为单一参数族 S(n,k,α,β,r)，建立了递推关系、生成函数，并提出了三种算法，包括一种基于Riordan数组的算法，以实现高效计算。

ABSTRACT

Here presented is a unified approach to Stirling numbers and their generalizations as well as generalized Stirling functions by using generalized factorial functions, $k$-Gamma functions, and generalized divided difference. Previous well-known extensions of Stirling numbers due to Riordan, Carlitz, Howard, Charalambides-Koutras, Gould-Hopper, Hsu-Shiue, Tsylova Todorov, Ahuja-Enneking, and Stirling functions introduced by Butzer and Hauss, Butzer, Kilbas, and Trujilloet and others are included as particular cases of our generalization. Some basic properties related to our general pattern such as their recursive relations and generating functions are discussed. Three algorithms for calculating the Stirling numbers based on our generalization are also given, which include a comprehensive algorithm using the characterization of Riordan arrays.

研究动机与目标

• 开发经典第一类与第二类斯特林数的全面推广。
• 将 Riordan、Carlitz、Howard、Gould-Hopper 和 Tsylova 等人提出的多种现有斯特林数推广形式统一为单一参数框架。
• 为广义斯特林数建立递推关系与指数生成函数。
• 提供计算高效的算法，包括一种基于 Riordan 数组表征的算法，用于计算广义斯特林数。

提出的方法

• 通过牛顿型展开式定义广义斯特林数：⟨z⟩_{n,−α} = Σ_{k=0}^n S(n,k,α,β,r) ⟨z−r⟩_{k,−β}，其中 ⟨z⟩_{n,α} 为具有增量 α 的广义阶乘。
• 利用广义阶乘多项式与 k-伽马函数扩展 Pochhammer 符号，定义广义上升/下降阶乘。
• 运用差分与生成函数技术，推导广义数的递推关系与指数生成函数。
• 应用 Riordan 数组理论，通过 A-序列与形式为 d(z) 和 h(z) 的生成函数表征广义斯特林数。
• 通过修改 A-序列计算方式，将 Riordan 数组算法适配于特殊情形，包括 α=0 或 β=0 的情况。
• 利用生成函数的复合逆，如 A(z) = z / h⁻¹(z)，推导系数的显式公式，以计算 A-序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典第一类与第二类斯特林数如何被嵌入到单一广义参数族中？
• RQ2 广义斯特林数 S(n,k,α,β,r) 的递推关系与生成函数表示为何？
• RQ3 现有推广形式（如 Howard 的加权退化型、Carlitz 的 q-模拟、Gould-Hopper 推广）如何作为该框架的特例被恢复？
• RQ4 能否开发一种统一的算法方法，特别是基于 Riordan 数组，以高效计算这些广义斯特林数？
• RQ5 k-伽马函数与广义阶乘多项式在实现这一推广中起到何种作用？

主要发现

• 广义斯特林数 S(n,k,α,β,r) 统一了经典斯特林数：S(n,k,1,0,0) = s(n,k)（第一类），S(n,k,0,1,0) = S(n,k)（第二类），S(n,k,0,0,1) = C(n,k)（二项式系数）。
• 对于 Howard 的加权退化型斯特林数（α=1,β=1,r=−1），Riordan 数组计算为 [k!/n! S(n,k)] = [[1,0,0,0,0], [-1,1,0,0,0], [1,-1,1,0,0], [-1,1,-1,1,0], [1,-1,1,-1,1]]，得出 S(4,0)=24, S(4,1)=-24, S(4,2)=12, S(4,3)=-4, S(4,4)=1。
• 对于第二类斯特林数（α=0,β=1,r=0），A-序列生成函数为 A(z) = z / ln(1+z)，得出系数 a₀=1, a₁=1/2, a₂=−1/12, a₃=1/24, a₄=−19/720。
• S(n,k,0,1,0) 的 Riordan 数组为 [k!/n! S(n,k)] = [[1,0,0,0,0], [0,1,0,0,0], [0,1/2,1,0,0], [0,1/6,1,1,0], [0,1/24,7/12,3/2,1]]，得出 S(4,1)=1, S(4,2)=7, S(4,3)=6, S(4,4)=1。
• 对于第一类斯特林数（α=1,β=0,r=0），A-序列生成函数为 A(z) = z / (e^z − 1)，得出 a₀=1, a₁=−1/2, a₂=1/12, a₃=0, a₄=−1/720，且 Riordan 数组 [k!/n! s(n,k)] 得出 s(4,1)=−6, s(4,2)=11, s(4,3)=−6, s(4,4)=1。