[论文解读] Generalized theta functions, strange duality, and odd orthogonal bundles on curves

Swarnava Mukhopadhyay, Richard Wentworth|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 62被引用 8

一句话总结

本文建立了 Verlinde 型公式，并证明了 Oxbury-Wilson 关于奇正交丛的非平凡 Stiefel-Whitney 类的广义 theta 函数模空间上的维数等式猜想。通过引入扭曲自旋丛并使用 Hecke 型变换，作者构造了一个平坦射影 Hitchin 连接，并证明了奇正交丛的奇异对偶性不成立，从而导致自旋映射类群表示的可约性。该工作解决了关于 P¹ 上具有自旋权的 conformal blocks 的秩-层对偶性问题。

ABSTRACT

This paper studies spaces of generalized theta functions for odd orthogonal bundles with nontrivial Stiefel-Whitney class and the associated space of twisted spin bundles. In particular, we prove a Verlinde type formula and a dimension equality that was conjectured by Oxbury-Wilson. Modifying Hitchin's argument, we also show that the bundle of generalized theta functions for twisted spin bundles over the moduli space of curves admits a flat projective connection. We furthermore address the issue of strange duality for odd orthogonal bundles, and we demonstrate that the naive conjecture fails in general. A consequence of this is the reducibility of the projective representations of spin mapping class groups arising from the Hitchin connection for these moduli spaces. Finally, we answer a question of Nakanishi-Tsuchiya about rank-level duality for conformal blocks on the pointed projective line with spin weights.

研究动机与目标

• 证明 Oxbury-Wilson 关于具有非平凡 Stiefel-Whitney 类的奇正交丛模空间上广义 theta 函数的 Verlinde 型公式及维数等式猜想。
• 在曲线模空间上扭曲自旋丛的广义 theta 函数丛上构造一个平坦射影 Hitchin 连接。
• 研究奇正交丛的奇异对偶性，证明朴素猜想因分量结构与自旋子丛范数而失效，导致自旋映射类群射影表示的可约性。
• 解决 Nakanishi-Tsuchiya 提出的关于 P¹ 上具有自旋权的 conformal blocks 的秩-层对偶性问题。
• 在扭曲自旋模堆栈上广义 theta 函数空间与 so(2r+1) 在层 ℓ 上的 conformal blocks 之间建立自然同构。

提出的方法

• 通过 Beauville-Laszlo-Sorger 的统一化定理，引入具有非平凡旋子范数的模堆栈 M⁻_Spin(2r+1) 作为扭曲自旋丛。
• 在 M⁻_Spin(m) 上定义 Pfaffian 线丛 P，并证明 H⁰(M⁻_Spin(m), P^ℓ) ≅ V*_{ℓω₁}(P¹, so(m), ℓ)，从而与 conformal blocks 建立联系。
• 在 Clifford 丛上构造一种 Hecke 型初等变换（ι-变换），切换 MSO(m) 的分量，关联 MSpin(m) 与 M⁻_Spin(m)。
• 利用 ι-变换，为广义 theta 函数与 conformal blocks 之间的同构提供另一种证明。
• 应用 TUY (KZ) 连接，证明广义 theta 函数丛具有平坦射影连接。
• 通过无限维 Clifford 代数中的显式计算，评估矩阵元并证明奇异对偶性失效于行列式为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 Oxbury-Wilson 关于具有非平凡 Stiefel-Whitney 类的奇正交丛模空间上广义 theta 函数的 Verlinde 型公式是否成立？
• RQ2 能否在曲线模空间上扭曲自旋丛的广义 theta 函数丛上构造一个平坦射影 Hitchin 连接？
• RQ3 奇正交丛的奇异对偶性是否成立？还是由于分量结构与自旋子丛范数，朴素猜想失效？
• RQ4 Nakanishi-Tsuchiya 提出的关于 P¹ 上具有自旋权的 conformal blocks 的秩-层对偶性是否存在？
• RQ5 能否通过 Clifford 丛上的 Hecke 型变换建立广义 theta 函数与 conformal blocks 之间的同构？

主要发现

• H⁰(M⁻_Spin(2r+1), P^ℓ) 的维数由 Verlinde 公式给出，证实了 Oxbury-Wilson 的猜想。
• 维数等式 dim H⁰(M₂ᵣ₊₁, P^(2s+1)) = dim H⁰(M₂ₛ₊₁, P^(2r+1)) 成立，其中 M₂ᵣ₊₁ = MSpin(2r+1) ⊔ M⁻_Spin(2r+1)。
• 奇正交丛的奇异对偶性映射一般不成立，意味着由 Hitchin 连接导出的自旋映射类群射影表示是可约的。
• 空间 H⁰(M⁻_Spin(m), P^ℓ) 自然同构于 conformal block 空间 V*_{ℓω₁}(P¹, so(m), ℓ)，将 Verlinde 同构推广至扭曲情形。
• Clifford 代数中的显式计算表明，奇异对偶性矩阵的行列式为零，证明了对某些权对，同构失效。
• R(B₀¹) 在最高权向量上的作用产生若干项的和，其重数为：项 ϕ₁,₀(−½)⋯ϕₖ,₀(−½) 的系数为 k!。