[论文解读] Generalized Traveling Salesman Problem Reduction Algorithms

Gregory Gutin, Daniel Karapetyan|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2008

Vehicle Routing Optimization MethodsEngineering参考文献 17被引用 20

一句话总结

本文提出了一种多项式时间的预处理算法，通过消除冗余顶点和边来缩减广义旅行商问题（GTSP）的规模，而不会改变最优解。该方法利用距离比较，通过差异表识别不可能出现在任何最优巡回中的顶点，实现了平均15–20%的问题规模缩减，以及在多个求解器上高达60%的求解时间加速。

ABSTRACT

The generalized traveling salesman problem (GTSP) is an extension of the well-known traveling salesman problem. In GTSP, we are given a partition of cities into groups and we are required to find a minimum length tour that includes exactly one city from each group. The aim of this paper is to present a problem reduction algorithm that deletes redundant vertices and edges, preserving the optimal solution. The algorithm's running time is O(N^3) in the worst case, but it is significantly faster in practice. The algorithm has reduced the problem size by 15-20% on average in our experiments and this has decreased the solution time by 10-60% for each of the considered solvers.

研究动机与目标

• 通过识别并移除不可能属于任何最优解的顶点和边，减少GTSP实例规模。
• 开发一种预处理技术，在保持最优性的同时显著降低GTSP求解器的计算成本。
• 设计一种实用且高效的算法，具有较低的开销，使其在真实世界的GTSP实例中优于现有方法。
• 评估顶点缩减、边缩减及其组合在多种GTSP求解器上的有效性。

提出的方法

• 对于顶点缩减，若对于其他簇中的任意顶点对x和y，簇C中存在另一顶点s ∈ C ∖ {r}，使得dist(x,s) + dist(s,y) ≤ dist(x,r) + dist(r,y)，则簇C中的顶点r被视为冗余。
• 构建差异表以存储所有x ∉ C和s ∈ C ∖ {r}的Δₓʳ ⁻ ˢ = dist(x,r) − dist(x,s)，从而实现高效的冗余检查。
• 通过检查所有来自不同簇的顶点对(x,y)的Δₓʳ ⁻ ˢ + Δᵧʳ ⁻ ˢ ≥ 0来验证冗余性；若所有此类和均为负，则r不为冗余。
• 算法以循环顺序迭代应用顶点缩减，直至无法进一步缩减，确保所有可检测的冗余顶点均被移除。
• 对于边缩减，若某条边不参与任何簇间的可行路径，则根据距离比较和簇连通性将其移除。
• 组合缩减技术按顺序应用顶点和边缩减，其中边缩减步骤通过调整求解器兼容性来处理无穷大的边权值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过距离比较高效识别GTSP中的冗余顶点，而不会影响解的质量？
• RQ2 所提出的顶点缩减算法在多种求解器上对GTSP实例规模和求解时间的缩减效果如何？
• RQ3 边缩减（将边权值设为无穷大）是否能提升求解器性能，其与不同求解器的交互作用如何？
• RQ4 组合缩减策略是否在问题规模缩减和求解速度提升方面优于单独的顶点或边缩减技术？

主要发现

• 所提出的预处理算法在测试实例上平均将GTSP问题规模缩减15–20%，显著降低求解时间。
• 在评估的五种GTSP求解器中，求解时间均减少了10–60%，其中精确求解器和启发式求解器的收益最为显著。
• 组合的顶点与边缩减技术始终优于单独的缩减方法，尤其对GKK和SD等求解器而言，边缩减带来了更大收益。
• 所有求解器的预处理时间均低于求解时间，即使在大规模实例下也保持极低开销，证实了其实际效率。
• SD求解器的实验时间复杂度估计为Θ(N³)，即使在N = 265时，预处理开销也远小于求解时间，可忽略不计。
• GK启发式算法中经修改的局部搜索过程与预处理结合后，以极小的运行时间代价略微提升了解的质量，表明其与缩减技术之间存在协同效应。