[论文解读] Generating All Minimal Edge Dominating Sets with Incremental-Polynomial Delay

Petr A. Golovach, Pinar Heggernes+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文提出了针对一般图和二分图中所有最小边支配集枚举的首个增量多项式延迟算法，通过一种新颖的翻转方法在线图中生成最小支配集。该方法在二分图上的延迟为$O(m^4| cal{L}|)$，在一般图上的延迟为$O(m^5| cal{L}|)$，总运行时间为输出多项式时间，解决了这些类别在输出敏感枚举领域长期存在的开放问题。

ABSTRACT

For an arbitrary undirected simple graph G with m edges, we give an algorithm with running time O(m^4 |L|^2) to generate the set L of all minimal edge dominating sets of G. For bipartite graphs we obtain a better result; we show that their minimal edge dominating sets can be enumerated in time O(m^4 |L|). In fact our results are stronger; both algorithms generate the next minimal edge dominating set with incremental-polynomial delay O(m^5 |L|) and O(m^4 |L|) respectively, when L is the set of already generated minimal edge dominating sets. Our algorithms are tailored for and solve the equivalent problems of enumerating minimal (vertex) dominating sets of line graphs and line graphs of bipartite graphs, with incremental-polynomial delay, and consequently in output-polynomial time. Enumeration of minimal dominating sets in graphs has very recently been shown to be equivalent to enumeration of minimal transversals in hypergraphs. The question whether the minimal transversals of a hypergraph can be enumerated in output-polynomial time is a fundamental and challenging question in Output-Sensitive Enumeration; it has been open for several decades and has triggered extensive research in the field.

研究动机与目标

• 开发一种高效算法，用于枚举无向图中所有最小边支配集。
• 通过最小支配集与超图最小横切集之间的等价性，解决一个基本开放问题：最小横切集是否能在输出多项式时间内被枚举。
• 设计一种基于翻转的方法，系统性地以增量多项式延迟生成线图中所有最小支配集。
• 将翻转方法扩展至围长至少为7的图，证明其更广泛的应用潜力。
• 实现二分图及其相关图类中最小边支配集的输出多项式时间复杂度。

提出的方法

• 引入一种翻转操作，将最小支配集$D^*$中的孤立顶点替换为$D^*$外部的邻接顶点，通过更新集合生成新的最小支配集。
• 利用枚举树中的父子关系，其中每个最小支配集有唯一父节点，以指导系统性生成。
• 对每个最小支配集$D^*$，通过探索涉及孤立顶点及其外部邻接点的所有有效顶点替换操作，生成其子节点。
• 通过对新顶点的邻域进行$Z_i$集合的结构化划分，确保无重复且通过案例分析保证正确性。
• 利用图中最小边支配集与线图中最小支配集之间的等价性，将问题归约为支配集枚举问题。
• 证明翻转方法能恰好一次生成所有最小支配集，且每个生成集合的延迟为多项式时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在增量多项式延迟下枚举二分图中的最小边支配集？
• RQ2 翻转方法能否推广至线图和二分图之外的其他图类？
• RQ3 基于翻转的枚举树中唯一父节点性质，是否能为更广泛的图类设计输出多项式时间算法？
• RQ4 能否以增量多项式延迟解决围长至少为7的图中最小支配集的枚举问题？
• RQ5 是否可能在输出多项式延迟（而非仅增量多项式延迟）下，实现线图或相关类中最小支配集枚举？

主要发现

• 本文提出了一种针对一般图中所有最小边支配集的增量多项式延迟算法，延迟为$O(m^5| cal{L}|)$，其中$m$为边数，$| cal{L}|$为已生成集合的数量。
• 对于二分图，延迟优化为$O(m^4| cal{L}|)$，总运行时间为输出多项式时间$O(m^4| cal{L}^*|)$，其中$| cal{L}^*|$为最小边支配集的总数。
• 翻转方法成功实现了对二分图线图中所有最小支配集的增量多项式延迟生成，延迟为$O(n^2m| cal{L}|)$，其中$n$为顶点数。
• 该方法可扩展至围长至少为7的图，实现最小支配集枚举的增量多项式延迟$O(n^2m| cal{L}|^2)$。
• 通过邻域划分的案例分析，证明了基于翻转的生成方法的正确性，确保每个最小支配集恰好被生成一次。
• 结果表明，对于由线图和二分图线图导出的超图，其最小横切集可被输出多项式时间枚举，从而解决了长期悬而未决的开放问题的一个特例。