[论文解读] Generating functions for K-theoretic Donaldson invariants and Le Potier's strange duality

Lothar Göttsche, Yuan Yao|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文利用壁穿跃公式与θ函数，计算了在有理表面（包括$\mathbb{P}^2$、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 和 $\widehat{\mathbb{P}}^2$）上的K-理论唐纳森不变量的生成函数。证明了特定秩-2与秩-0层类的勒·波蒂埃怪异对偶性，建立了模空间上行列式线丛截面空间之间的同构关系。

ABSTRACT

K-theoretic Donaldson invariants are holomorphic Euler characteristics of determinant line bundles on moduli spaces of sheaves on surfaces. We compute generating functions of K-theoretic Donaldson invariants on the projective plane and rational ruled surfaces. We apply this result to prove some cases of Le Potier's strange duality.

研究动机与目标

• 计算有理曲面上层模空间的K-理论唐纳森不变量的生成函数。
• 建立关于对偶模空间上行列式线丛上同调的勒·波蒂埃怪异对偶性猜想的若干情形。
• 推广吹破公式，并分析生成函数的模性质与消去性质。
• 验证特定层类的怪异对偶性：$c = (2,0,c_2)$ 与 $c^* = (0,L,\chi=0)$，其中 $L = -K_X$ 或 $-K_X + F$，以及 $c = (2,H,c_2)$ 与 $c^* = (0,2H,\chi=-1)$ 在 $\mathbb{P}^2$ 上的情形。
• 通过证明极化选择无关性与映射的满射性，表明当 $c_2$ 足够大时，怪异对偶映射为同构。

提出的方法

• 利用文献[11]中的壁穿跃公式，计算 $\mathbb{P}^2$ 与有理规则曲面上的K-理论唐纳森不变量的生成函数。
• 应用θ函数与模形式表达生成函数，特别针对满足 $d = 4c_2 - c_1^2$ 的类。
• 利用壁穿跃中的多项式性与消去结果简化计算，并证明生成函数的模性质。
• 在模空间 $M_H^X(c)$ 上构造与 $K(X)$ 中类相关的行列式线丛 $\mathcal{D}_{c,c^*}$，使用向量丛的 $\lambda$-构造方法。
• 利用吹破公式与延拓技术，将 $\widehat{\mathbb{P}}^2$ 上的不变量与 $\mathbb{P}^2$ 上的不变量关联，实现递归与计算。
• 应用消去定理与同调准则（例如 $H^0(\mathcal{E}^i_2 \otimes \mathcal{G}^j) = 0$ 当且仅当 $i = j$）证明怪异对偶映射的满射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{P}^2$ 与有理规则曲面上，K-理论唐纳森不变量的生成函数是什么？
• RQ2 壁穿跃公式与θ函数如何促进这些不变量的计算？
• RQ3 勒·波蒂埃的怪异对偶性是否在 $\mathbb{P}^2$ 与 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上的秩-2与秩-0层模空间上成立？
• RQ4 怪异对偶映射 $SD_{c,c^*}$ 的结构如何？它在何时为同构？
• RQ5 这些不变量在多大程度上与极化 $H$ 的选择无关？

主要发现

• 对于 $X = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 与 $X = \widehat{\mathbb{P}}^2$，当 $\frac{a}{b} \geq \frac{n+2}{4}$ 时，有 $\sum_{d>0} \chi(M_H^X(F,d), \mu(nF)) \Lambda^d = \frac{1}{(1 - \Lambda^4)^{n+1}}$ 成立。
• 对于 $X = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$，当 $n \in \mathbb{Z}$ 时，有 $\sum_{d>0} \chi(M_H^X(0,d), \mu(nF)) \Lambda^d = \frac{1}{(1 - \Lambda^4)^{n+1}}$。
• 对于 $X = \widehat{\mathbb{P}}^2$，当 $n \in \mathbb{Z} + \frac{1}{2}$ 时，有 $\sum_{d>0} \chi(M_H^X(0,d), \mu(nF + G)) \Lambda^d = \frac{1}{(1 - \Lambda^4)^{2n+2}}$。
• 勒·波蒂埃怪异对偶性对 $c = (2,0,c_2)$ 与 $c^* = (0,L,\chi=0)$ 成立，其中 $L = -K_X$ 或 $-K_X + F$，且当 $c_2 \geq 2$ 时，怪异对偶映射 $SD_{c,c^*}^g$ 为满射。
• 对于 $X = \mathbb{P}^2$，$c = (2,H,c_2)$，$c^* = (0,2H,\chi=-1)$，怪异对偶映射 $SD_{c,c^*}$ 为满射，且当 $c_2$ 足够大时，生成函数与极化选择无关。
• 由于生成函数在壁穿跃与极化选择下保持不变，当 $c_2 \gg 0$ 时，怪异对偶映射为同构。