[论文解读] Generating Polynomials and Symmetric Tensor Decompositions

Jiawang Nie|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文引入生成多项式与生成矩阵以表征对称张量分解，通过代数几何与多项式系统实现张量秩分解的高效计算。主要贡献是一种利用对偶理想结构与柯太利坎特矩阵计算对称张量分解的方法，可在数秒至数分钟内实现高精度（误差 ≈ 10⁻¹²）计算，即使对于高阶张量亦然。

ABSTRACT

This paper studies symmetric tensor decompositions. For symmetric tensors, there exist linear relations of recursive patterns among their entries. Such a relation can be represented by a polynomial, which is called a generating polynomial. The homogenization of a generating polynomial belongs to the apolar ideal of the tensor. A symmetric tensor decomposition can be determined by a set of generating polynomials, which can be represented by a matrix. We call it a generating matrix. Generally, a symmetric tensor decomposition can be determined by a generating matrix satisfying certain conditions. We characterize the sets of such generating matrices and investigate their properties (e.g., the existence, dimensions, nondefectiveness). Using these properties, we propose methods for computing symmetric tensor decompositions. Extensive examples are shown to demonstrate the efficiency of proposed methods.

研究动机与目标

• 开发一种基于生成多项式与矩阵的系统性代数框架，用于对称张量分解。
• 表征生成矩阵决定有效对称张量分解的条件。
• 提供计算对称张量分解的高效计算方法，尤其适用于一般张量。
• 分析生成矩阵的存在性、维数与非退化性与张量秩的关系。

提出的方法

• 使用生成多项式表示对称张量分量，编码张量分量之间的递归线性关系。
• 将生成矩阵定义为一组生成多项式的矩阵表示，用于确定对称张量分解。
• 利用对偶理想与生成多项式的齐次化，将张量分解与代数几何及多项式系统关联。
• 应用柯太利坎特矩阵验证秩条件并引导分解过程。
• 实现算法4.3，通过求解源自生成矩阵的多项式系统来计算对称张量分解。
• 利用数值代数几何与同伦延拓方法高效求解所得系统，并实现误差控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用张量分量之间的多项式关系系统表征对称张量分解？
• RQ2 生成矩阵需满足何种条件才能产生有效的对称张量分解？
• RQ3 生成矩阵的存在性、维数与非退化性如何与对称张量的秩相关联？
• RQ4 生成多项式与矩阵能否用于高效计算一般张量的对称张量分解？
• RQ5 所提方法在不同张量阶数与维度下的计算性能与精度如何？

主要发现

• 该方法成功计算对称张量分解，对随机生成张量的残差误差在 10⁻¹² 量级。
• 对于 S⁵(ℂ⁴) 中的张量，分解时间仅数秒，15 阶分解计算准确。
• 在 S⁶(ℂ⁴) 中，算法在数分钟内完成 21 阶分解，误差水平相似。
• 对于 (n+1,m) = (8,3) 情况，平均计算时间为 1799.6 秒，表明在高维情况下存在可扩展性挑战。
• 在每个 (n+1,m) 对下，50 个随机实例中均一致成功，所有分解均达到预期长度且精度极高。
• 在测试案例中，柯太利坎特矩阵的秩比张量秩小 1，支持了所计算分解的正确性。