[论文解读] Generation of Universal Linear Optics by Any Beamsplitter

Adam Bouland, Scott Aaronson|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Quantum Information and Cryptography参考文献 24被引用 5

一句话总结

该论文证明，任何非平凡的分束器——即不单纯置换模式或施加全局相位的两模幺正门——均可在 m ≥ 3 个光学模式的单光子子空间上稠密生成完整的特殊幺正群 SU(m)。该结果确立了一个二分法：此类门集合要么平凡，要么对线性光学完全通用，不存在中间复杂度类的可能性，从而解决了量子线性光学通用性中的一个关键问题。

ABSTRACT

In 1994, Reck et al. showed how to realize any unitary transformation on a single photon using a product of beamsplitters and phaseshifters. Here we show that any single beamsplitter that nontrivially mixes two modes, also densely generates the set of unitary transformations (or orthogonal transformations, in the real case) on the single-photon subspace with m>=3 modes. (We prove the same result for any two-mode real optical gate, and for any two-mode optical gate combined with a generic phaseshifter.) Experimentally, this means that one does not need tunable beamsplitters or phaseshifters for universality: any nontrivial beamsplitter is universal for linear optics. Theoretically, it means that one cannot produce "intermediate" models of linear optical computation (analogous to the Clifford group for qubits) by restricting the allowed beamsplitters and phaseshifters: there is a dichotomy; one either gets a trivial set or else a universal set. No similar classification theorem for gates acting on qubits is currently known. We leave open the problem of classifying optical gates that act on three or more modes.

研究动机与目标

• 确定受限的光学门集合（特别是分束器和相位延迟器）是否能实现非通用但非平凡的线性光学计算。
• 研究是否存在类似于量子比特量子计算中 Clifford 群的中间线性光学计算模型。
• 对 m ≥ 3 个模式下生成 SU(m) 或 SO(m) 的稠密子群的两模光学门进行分类。
• 解决线性光学中的通用性是否依赖可调组件，或是否任意非平凡分束器已足够。

提出的方法

• 通过分析此类门的乘积的迹并证明其张成李代数，证明任意非平凡两模幺正门（行列式为 -1）在 m ≥ 3 时可稠密生成 SU(m)。
• 利用表示论和 SO(3) 的闭子群分类，证明非平凡实两模门（行列式为 +1）同样生成 SO(3)，从而在 m ≥ 3 时生成 SO(m)。
• 应用 Reck 等人的分解结果，通过旋转矩阵的乘积分解将通用性从三模扩展至 m ≥ 3 模式。
• 通过分析门乘积的迹，区分迹为实数或虚数的情况，利用分束器的非平凡性排除平凡子群。
• 通过将门与相位延迟器组合以生成行列式为 -1 的分束器，将结果推广至任意非平凡两模门，利用幺正性和相位自由度。
• 运用李群理论证明，任意非平凡两模门均可生成 SU(m) 或 SO(m) 的稠密子群，从而排除有限群或 U(1)-型子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何非平凡两模分束器（行列式为 -1）是否可在 m ≥ 3 模式的单光子子空间上生成完整的 SU(m) 群？
• RQ2 在线性光学中是否存在类似量子比特模型中 Clifford 群的非通用、非平凡门集合，介于平凡与完全通用之间？
• RQ3 光学门中相位的存在是否会阻止类似于量子比特量子线路中所见的二分法？
• RQ4 该通用性结果能否推广至行列式不为 -1 的两模门？
• RQ5 该二分法能否推广至 k ≥ 3 模的光学门？

主要发现

• 任何非平凡两模分束器（行列式为 -1）在所有 m ≥ 3 时均可稠密生成 SU(m)，证明无需可调组件即可实现通用性。
• 该结果适用于任意非平凡实两模光学门：若非平凡，则在 m ≥ 3 时生成 SO(m)，即使行列式为 +1 亦然。
• 本文确立了严格的二分法：分束器与相位延迟器的集合要么生成平凡群，要么对线性光学完全通用——不存在中间模型。
• 任何非平凡两模幺正门，无论行列式为何，均可通过与相位延迟器组合等价为分束器，因此在与相位延迟器组合时即为通用。
• 该证明依赖于门乘积迹的分析，以排除有限群或阿贝尔子群，表明生成群必为 SU(m) 或 SO(m) 的稠密子群。
• 该结果意味着，除非系统为平凡，否则此类系统无法被高效经典模拟，支持玻色采样及相关任务的计算困难性。