[论文解读] Generic approximation of functions by their Padé approximants

Grigorios Fournodavlos, Nestoridis, V.|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用 8

一句话总结

该论文证明，在近似多项式度数满足温和增长条件时，复平面上任意开集上的全纯函数可由其佩德近似（Padé approximants）一致逼近。利用贝尔纲定理，论文证明：对于任意开集 $ Omega subseteq mathbb{C}$，在 $A^\infty(\Omega)$ 中，一类残集（residual set）的函数在 $ Omega$ 内每一点 $ zeta subseteq Omega$ 处均被其佩德近似 $[p_n/q_n]_{f,\zeta}$ 同时逼近，前提是 $p_n, q_n \to \infty$，从而推广了此前对整函数的结果。

ABSTRACT

Generic approximation of entire functions by their Padé approximants has been achieved in the past (\cite{3}). In the present article we obtain generic approximation of holomorphic functions on arbitrary open sets by sequences of their Padé approximants. Similar results hold with functions smooth on the boundary of their domain of definition. In addition, the approximation is valid simultaneously with respect to all centers of expansion.

研究动机与目标

• 将全纯函数在整函数上被佩德近似的一般逼近结果，推广至任意开集 $ Omega \subseteq \mathbb{C}$ 上的全纯函数。
• 在所有中心 $ zeta \in \Omega$ 上建立佩德近似的同步逼近。
• 在 $ overline{\Omega}$ 的补集满足连通性条件时，将结果推广至 $A^\infty(\Omega)$ 中的函数，即在边界上光滑的函数。
• 证明此类可逼近函数在弗雷chet空间 $A^\infty(\Omega)$ 中为残集（即在拓扑意义下普遍存在）。

提出的方法

• 证明依赖于贝尔纲定理在弗雷chet空间 $H(\Omega)$ 和 $A^\infty(\Omega)$ 上的应用。
• 作者定义了集合 $E^\infty(\Omega, K, L, s, (p,q))$，表示其佩德近似在紧集 $K$ 和中心集 $L$ 上至阶数 $s$ 均一致收敛的函数集合。
• 通过魏尔斯特拉斯逼近定理和具有受控极点的有理函数的扰动，证明这些集合在 $A^\infty(\Omega)$ 中为开集且稠密。
• 通过证明所有 $s$ 上的集合 $\bigcup_{(p,q)} E^\infty(\Omega, K, L, s, (p,q))$ 的交集为 $G_\delta$ 稠密集，从而确立逼近的普遍性。
• 构造中使用了海克尔行列式条件，以确保佩德近似 $[p/q]_{f,\zeta}$ 的存在性与唯一性。
• 该方法适用于 $H(\Omega)$ 和 $A^\infty(\Omega)$，后者要求 $\overline{\Omega}$ 的补集连通。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明复平面上任意开集 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ 上全纯函数的佩德近似具有普遍收敛性？
• RQ2 是否可能在 $\Omega$ 内所有中心 $\zeta \in \Omega$ 处实现佩德近似的同步逼近？
• RQ3 在适当的拓扑条件下，该结果能否推广至在边界上光滑的函数，即 $A^\infty(\Omega)$ 中的函数？
• RQ4 在何种度数条件 $p_n, q_n$ 下，可保证 $[p_n/q_n]_{f,\zeta}$ 以紧致集上一致收敛于 $f$？

主要发现

• 对于任意开集 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$，在 $A^\infty(\Omega)$ 中，一类残集函数在 $\Omega$ 内每一点 $\zeta \in \Omega$ 处均被其佩德近似 $[p_n/q_n]_{f,\zeta}$ 同时逼近，前提是 $p_n, q_n \to \infty$。
• 此类函数的集合为 $G_\delta$ 且在 $A^\infty(\Omega)$ 中稠密，表明其在拓扑意义下具有普遍性。
• 即使 $f$ 在 $\overline{\Omega}$ 上光滑，只要 $\mathbb{C} \cup \infty \setminus \overline{\Omega}$ 连通，该结果仍成立。
• 证明表明，对于整函数情形，仅需 $p_n \to \infty$ 的条件即可保证普遍逼近，从而强化了早期结果。
• 收敛性在 $\overline{\Omega}$ 的紧致子集上一致成立，且对任意有限阶导数均成立。
• 该方法适用于 $H(\Omega)$ 和 $A^\infty(\Omega)$，后者要求 $\overline{\Omega}$ 的补集连通。