[论文解读] Generic Ma\~n\'e sets

Gonzalo Contreras|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文证明了在紧致流形上，对于 $C^2$ 通用的双曲 Ma\'n\'e 集，若其对应于 Tonelli 拉格朗日量，则包含周期轨道。在二维情形下，结合先前关于通用双曲性的结果，可推出 Ma\'n\'e 猜想：对于 $C^2$ 通用势函数 $f$，$L + f$ 的 Ma\'n\'e 集为双曲周期轨道，从而确立了一组在双曲周期轨道上支持最小动力系统的拉格朗日量的稠密集合。

ABSTRACT

Abstract. We prove that C2 generic hyperbolic Mañe ́ sets contain a periodic orbit. In dimension 2, adding a result with A. Figalli and L. Rifford [9], we obtain Mañé’s Conjecture [18] for surfaces in the C2 topology. Let M be a closed riemannian manifold. A Tonelli Lagrangian is a C2 function L: TM → R such that it is (i) Convex: ∀(x, v) ∈ TM, ∂2vvL(x, v) is positive definite. (ii) Superlinear: ∀A> 0 ∃B> 0 such that ∀(x, v) ∈ TM: L(x, v)> A |v|x −B. Given k ∈ R, the Mañe ́ potential is defined as φk: M ×M → R ∪ {−∞} as φk(x, y): = inf γ∈C(x,y) k + L(γ, γ̇), where C(x, y): = {γ: [0, T]→M absolutely continuous | T> 0, γ(0) = x, γ(T) = y}. The Mañe ́ critical value is c(L): = sup { k ∈ R | ∃x, y ∈M: φk(x, y) = − ∞}. See [11] for several characterizations of c(L). A curve γ: R→M is semistatic if ∀s < t: ∫ t s c(L) + L(γ, γ̇) = φc(L)(γ(s), γ(t)). The Mañe ́ set of L is N ̃ (L): = {(γ(t), γ̇(t)) ∈ TM | t ∈ R, γ: R→M is semistatic}. The Euler-Lagrange equation d

研究动机与目标

• 建立 $C^2$ 通用双曲 Ma\'n\'e 集包含周期轨道的结论。
• 证明在紧致曲面上，$C^2$ 通用扰动的 Tonelli 拉格朗日量所产生的 Ma\'n\'e 集为双曲周期轨道。
• 通过证明使 Ma\'n\'e 集为双曲周期轨道的势函数集合在 $C^2$ 拓扑下既开又稠密，从而在曲面上确认 Ma\'n\'e 猜想。
• 展示 Ma\'n\'e 集的双曲性蕴含其动力系统可被有限型子移位的悬垂流模型化。
• 表明在 Ma\'n\'e 集上支持的最小测度可提升为在有限型子移位上悬垂流的不变测度，从而将动力系统与符号动力学联系起来。

提出的方法

• 利用 $C^2$ 拓扑下 Ma\'n\'e 集映射 $\phi \mapsto \widetilde{\mathcal{N}}(L + \phi)$ 的上半连续性，将扰动与结构稳定性联系起来。
• 应用符号动力学与跟踪理论的结果，以周期轨道逼近双曲集。
• 使用径向投影将能量水平 $E^{-1}\{c(L)\}$ 与单位切丛 $SM$ 识别，适用于小扰动情形。
• 通过与径向投影共轭，构造 $SM$ 上连续的 $C^1$ 流族，从而可应用双曲性理论。
• 利用小 $C^2$ 扰动下双曲集的稳定性，将 $\widetilde{\mathcal{N}}(L)$ 的动力系统提升为有限型子移位上的悬垂流。
• 应用结构稳定性和扩张性论证，证明双曲周期轨道在势函数的小扰动下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $C^2$ 通用的双曲 Ma\'n\'e 集中，对于 Tonelli 拉格朗日量，是否包含周期轨道？
• RQ2 在紧致曲面上，使 $\widetilde{\mathcal{N}}(L + \phi)$ 为双曲周期轨道的 $C^2$ 势函数集合是否在 $C^2(M, \mathbb{R})$ 中既开又稠密？
• RQ3 若无不动点，能否将无不动点的双曲 Ma\'n\'e 集的动力系统建模为有限型子移位上的悬垂流？
• RQ4 在小 $C^2$ 扰动下，Ma\'n\'e 集如何变化？
• RQ5 在 Ma\'n\'e 集上支持的最小测度与符号系统上的不变测度之间存在何种关系？

主要发现

• 使 $\widetilde{\mathcal{N}}(L_0 + \phi)$ 为双曲集的 $C^2$ 势函数集合 $\mathcal{H}^2(L_0)$ 是开集，且其闭包包含所有使 Ma\'n\'e 集包含周期轨道的势函数。
• 当 $\dim M = 2$ 时，集合 $\mathcal{H}^2(L_0)$ 在 $C^2(M, \mathbb{R})$ 中既开又稠密，从而在该情形下确认了 Ma\'n\'e 猜想。
• 使 $\widetilde{\mathcal{N}}(L_0 + \phi)$ 为双曲周期轨道或奇点的势函数集合 $\mathcal{HP}^2(L_0)$ 在 $\mathcal{H}^2(L_0)$ 中既开又稠密。
• 无不动点的双曲 Ma\'n\'e 集可被建模为有限型子移位上的悬垂流，且其与能量水平上流的限制之间存在连续共轭。
• 在 $L + \phi$ 的 Ma\'n\'e 集邻域内支持的任意不变测度均可提升为悬垂流上的不变测度，且该测度为最小测度当且仅当其提升为 $L + \phi$ 的作用最小化测度。
• 当 $\widetilde{\mathcal{N}}(L)$ 不含不动点时，能量水平 $E_{L}^{-1}\{c(L)\}$ 微分同胚于 $SM$，从而可通过单位切丛实现对动力系统的统一处理。