[论文解读] Generic uniqueness and stability for the mixed ray transform

Maarten V. de Hoop, Teemu Saksala+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 44被引用 4

一句话总结

该论文在三维简单黎曼流形上建立了对称 1+1 和 2+2 张量场的混合射线变换的通用唯一性和稳定性。它证明了在自然核障碍下变换的注入性，并为法向算子导出了 $L^2$-稳定性估计，同时将各向异性弹性波走时扰动与混合射线变换联系起来，当包含剪切波振幅时可实现完全恢复。

ABSTRACT

We consider the mixed ray transform of tensor fields on a three-dimensional compact simple Riemannian manifold with boundary. We prove the injectivity of the transform, up to natural obstructions, and establish stability estimates for the normal operator on generic three dimensional simple manifold in the case of 1+1 and 2+2 tensors fields. We show how the anisotropic perturbations of averaged isotopic travel-times of qS-polarized elastic waves provide partial information about the mixed ray transform of 2+2 tensors fields. If in addition we include the measurement of the shear wave amplitude, the complete mixed ray transform can be recovered. We also show how one can obtain the mixed ray transform from an anisotropic perturbation of the Dirichlet-to-Neumann map of an isotropic elastic wave equation on a smooth and bounded domain in three dimensional Euclidean space.

研究动机与目标

• 在通用三维简单黎曼流形上，建立对称 1+1 和 2+2 张量场的混合射线变换的注入性，考虑自然核障碍。
• 在通用三维简单流形上，为 1+1 和 2+2 情况下的混合射线变换的法向算子导出 $L^2$-稳定性估计。
• 将 $qS$-偏振弹性波走时的各向异性扰动与 2+2 张量场混合射线变换的部分信息联系起来。
• 证明当剪切波振幅与走时测量值一并提供时，2+2 张量场混合射线变换的完整恢复是可能的。
• 证明在三维欧几里得空间中，各向同性弹性波方程的 Dirichlet-to-Neumann 映射的各向异性扰动能恢复混合射线变换。

提出的方法

• 通过沿测地线对称张量场进行积分，并使用平行传输的正交向量加权，定义混合射线变换。
• 分析依赖于微局部方法，包括复几何光学解和振荡积分的驻相法。
• 利用具有复相位的高频渐近展开构造弹性波方程的解，从而从边界测量中提取张量信息。
• 通过 Dirichlet-to-Neumann 映射的结构分析法向算子，采用高频极限（$\varrho \to \infty$）下的渐近展开。
• 对涉及相位 $\varphi$ 和振幅 $u_0$ 的振荡积分应用驻相法，得到恢复混合射线变换的主导项。
• 使用费米坐标和恒等式 $\det(D^2\varphi)\cdot|\det Y_S|^2 \equiv c_0$ 确保渐近分析的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，三维简单黎曼流形上 1+1 和 2+2 张量场的混合射线变换是注入的？
• RQ2 在通用三维简单流形上，混合射线变换法向算子的 $L^2$-稳定性如何？
• RQ3 $qS$-波走时的各向异性扰动如何与 2+2 张量场混合射线变换相关？
• RQ4 是否能从弹性波数据中重构 2+2 张量场混合射线变换的完整形式？需要哪些额外测量？
• RQ5 在三维欧几里得空间中，各向同性弹性波方程的 Dirichlet-to-Neumann 映射在多大程度上能恢复混合射线变换？

主要发现

• 在通用三维简单流形上，1+1 和 2+2 张量场的混合射线变换在自然势场核 $ (\nabla v)^{\mathcal{B}} $ 之下是注入的。
• 在通用三维简单流形上，1+1 和 2+2 张量场的混合射线变换法向算子的 $L^2$-范数下建立了稳定性估计。
• $qS$-偏振波走时的各向异性扰动提供了关于 2+2 张量场混合射线变换的部分信息。
• 当剪切波振幅包含在测量中时，2+2 张量场混合射线变换的完整形式得以恢复。
• 在三维欧几里得空间中，2+2 张量场的混合射线变换可从各向同性弹性波方程 Dirichlet-to-Neumann 映射的各向异性扰动中恢复。
• 渐近分析导出了恒等式 $ \lim_{\varrho\to\infty} \varrho^{-1/2} \langle \dot{\Lambda}_{\mathbf{C}^0}(\mathbf{C})h_1, h_2 \rangle = \int_\vartheta \frac{C_{ijk\ell}}{\rho} c_S^2 \dot{\gamma}_i \eta_j \dot{\gamma}_k \eta_\ell \, dt $，证实了混合射线变换的恢复。