[论文解读] Genericity and Rigidity for Slow Entropy Transformations

Terrence Adams|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文证明了通用且刚性测度保持变换的存在性，其具有极端缓慢熵行为：通用系统在任意次指数率下表现出无限上慢熵和零下慢熵，而刚性、弱混合系统可实现无限下慢熵。结果解决了关于刚性变换正多项式上慢熵的开放问题，并表明慢熵是比熵收敛速率更强的复杂性度量，通过显式构造证明了零上慢熵但任意次线性收敛速率的情形。

ABSTRACT

The notion of slow entropy, both upper and lower slow entropy, was defined by Katok and Thouvenot as a more refined measure of complexity for dynamical systems, than the classical Kolmogorov-Sinai entropy. For any subexponential rate function $a_n(t)$, we prove there exists a generic class of invertible measure preserving systems such that the lower slow entropy is zero and the upper slow entropy is infinite. Also, given any subexponential rate $a_n(t)$, we show there exists a rigid, weak mixing, invertible system such that the lower slow entropy is infinite with respect to $a_n(t)$. This gives a general solution to a question on the existence of rigid transformations with positive polynomial upper slow entropy, Finally, we connect slow entropy with the notion of entropy covergence rate presented by Blume. In particular, we show slow entropy is a strictly stronger notion of complexity and give examples which have zero upper slow entropy, but also have an arbitrary sublinear positive entropy convergence rate.

研究动机与目标

• 解决 [KKW2020] 中问题 6.1.2 关于存在具有正多项式上慢熵的刚性变换的问题。
• 以慢熵为工具，刻画可逆测度保持系统的通用行为，特别是无限上慢熵与零下慢熵共存的特性。
• 澄清慢熵与 Blume 的熵收敛速率之间的关系，表明慢熵是严格更强的复杂性度量。
• 构造刚性、弱混合系统显式例子，使其对任意次指数率函数均具有无限下慢熵。

提出的方法

• 构造可逆测度保持系统空间中一个稠密的 Gδ 子集，使得对任意发散的次指数率函数，其上慢熵为无穷大，下慢熵为零。
• 使用修改后的切割-堆叠技术，交替采用左列（低熵）与右列（高熵）构造，以控制慢熵行为。
• 应用第二 Borel-Cantelli 引理与条件独立性估计，确保遍历性与弱混合性，同时保持刚性。
• 在符号动力系统中使用归一化汉明距离与 ε-球定义熵覆盖数，并通过划分细化分析慢熵。
• 引入速率函数 b_n(t) = 2^{t a_n}，将慢熵与 Blume 的熵收敛速率进行比较，证明两类之间的严格包含关系。
• 利用划分熵 H(P_n) 与覆盖数 S_P(T,n,ε,δ) 的测度论估计，推导慢熵的渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个刚性、弱混合、可逆测度保持变换，使得其在多项式率函数 a_n(t) = n^t 下具有正的上慢熵？
• RQ2 在可逆测度保持系统空间中，通用变换是否可能对任意次指数率均表现出无限上慢熵与零下慢熵？
• RQ3 慢熵与 Blume 的熵收敛速率有何关系？慢熵是否严格更强？
• RQ4 一个变换能否具有零上慢熵，但仍表现出正的、任意的次线性熵收敛速率？
• RQ5 在给定次指数率下，具有无限或正下慢熵的系统，其可实现的刚性序列有哪些？

主要发现

• 对任意次指数率函数 a_n(t)，存在一个稠密的 Gδ 子集 G ⊂ M，使得对所有 T ∈ G，其关于 a_n(t) 的上慢熵为无穷大。
• 对任意发散的次指数率 a_n(t)，存在一个稠密的 Gδ 子集 G ⊂ M，使得对所有 T ∈ G，其关于 a_n(t) 的下慢熵为零。
• 存在一族 F ⊂ M 的刚性、弱混合变换，使得对任意次指数率 a_n(t)，存在某个 T ∈ F，其关于 a_n(t) 的下慢熵为无穷大。
• 慢熵严格强于熵收敛速率：存在系统具有零上慢熵但具有任意正的次线性熵收敛速率。
• 类 G_{2^{ta_n}} 是 ES(a_n) 的真子集，表明慢熵捕捉了 Blume 收敛速率所无法检测到的复杂性。
• 通过修改的切割-堆叠技术显式构造出上慢熵为零但归一化熵的上极限为正的系统，确认了复杂性度量之间的严格层级关系。