[论文解读] Genus Two Partition and Correlation Functions for Fermionic Vertex Operator Superalgebras II

Michael P. Tuite, Alexander Zuevsky|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2013

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

本论文在秩二自由费米子顶点算子超代数的ρ形式体系下，计算了二环亏格的划分函数及n点关联函数的生成函数。通过费米子的玻色化及一环亏格互变子关联函数，推导出涉及一环亏格Szegő核的无限与有限行列式的结果，证明了其全纯性与在Sp(4,Z)子群下的模不变性，并给出了二环亏格θ级数的雅可比三重积恒等式类比。

ABSTRACT

We define and compute the continuous orbifold partition function and a generating function for all $n$-point correlation functions for the rank two free fermion vertex operator superalgebra on a genus two Riemann surface formed by self-sewing a torus. The partition function is proportional to an infinite dimensional determinant with entries arising from torus Szego kernel and the generating function is proportional to a finite determinant of genus two Szego kernels. These results follow from an explicit analysis of all torus $n$-point correlation functions for intertwiners of the irreducible modules of the Heisenberg vertex operator algebra. We prove that the partition and $n$-point correlation functions are holomorphic on a suitable domain and describe their modular properties. We also describe an identity for the genus two Riemann theta series analogous to the Jacobi triple product identity.

研究动机与目标

• 在秩二自由费米子顶点算子超代数的ρ形式体系下，计算二环亏格的划分函数及n点关联函数的生成函数。
• 在缝合区域的合适覆盖空间上，建立划分函数与关联函数的全纯性与模不变性。
• 推导出二环亏格黎曼θ级数的雅可比三重积恒等式类比。
• 将一环亏格互变子关联函数结果推广至广义VOA，并通过自缝合环面应用于二环亏格构造。
• 分析关联函数在缝合区域上的多值性，并研究其在覆盖空间上提升为全纯函数的机制。

提出的方法

• 使用ρ形式体系，通过在分离距离为w的两点处自缝合一个环面，构造二环亏格黎曼曲面，其中包含模参数τ与缝合参数ρ。
• 采用玻色化方法，将秩二自由费米子VOSA识别为Z-格点VOSA，从而通过广义VOA M ⊗ e^α处理所有α ∈ ℂ的互变子。
• 利用椭圆基本形式与准模形式，显式计算广义VOA M ⊗ e^α中互变子的一环亏格n点关联函数。
• 将一环亏格n点函数的生成函数表示为一环亏格Szegő核的有限行列式。
• 通过由一环亏格Szegő核数据与乘子构成的无限矩阵T，构造二环亏格的划分函数与关联函数，其关键依赖于det(I - T)。
• 利用[TZ1]中给出的显式表达式，将二环亏格Szegő核S^(2)表示为一环亏格数据与乘子的函数，其中核公式中出现(I - T)^{-1}。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在ρ形式体系下显式计算秩二自由费米子VOSA的二环亏格划分函数？
• RQ2 所有二环亏格n点关联函数的生成函数结构是什么？其与一环亏格数据有何关系？
• RQ3 划分函数与关联函数在缝合区域D^ρ上的全纯性与模性行为如何？
• RQ4 黎曼θ级数的二环亏格雅可比三重积恒等式类比是什么？
• RQ5 关联函数在D^ρ上的多值性在提升至覆盖空间后如何解决？

主要发现

• 二环亏格划分函数与det(I - T)成正比，其中T是由一环亏格Szegő核数据与乘子构造的无限矩阵，且在缝合区域D^ρ上全纯。
• 二环亏格n点关联函数的生成函数与二环亏格Szegő核的有限行列式成正比，其由一环亏格互变子关联函数推导而来。
• 划分函数与关联函数在D^ρ上为多值函数，但可提升为在合适覆盖空间上的全纯函数。
• 这些函数在Sp(4,Z)的子群作用下表现出模不变性，即二环亏格辛群。
• 推导出一个关于二环亏格黎曼θ级数的恒等式，其类比于雅可比三重积恒等式。
• 通过平移的Virasoro模与涉及q级数和椭圆函数的迹公式，显式计算了广义VOA M ⊗ e^α中互变子的一环亏格n点关联函数。