[论文解读] Genus Two Zhu Theory for Vertex Operator Algebras

Thomas Patrick Gilroy, Tuite, Michael P.|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文提出了一种双亏格 Zhu 递推公式，该公式将由两个环面粘合而成的双亏格黎曼面上顶点算子代数的 n 点关联函数完全表示为 (n−1) 点函数的形式。该方法依赖于广义 Weierstrass 函数与 Siegel 上半平面上的微分算子，推导出关键对象（如划分函数、双微分和射影联络）的解析微分方程，其应用涵盖 Heisenberg 与 Virasoro VOAs，并证明了 Virasoro 奇异向量方程中系数的解析性。

ABSTRACT

We consider correlation functions for a vertex operator algebra on a genus two Riemann surface formed by sewing two tori together. We describe a generalisation of genus one Zhu recursion where we express an arbitrary genus two $n$--point correlation function in terms of $(n-1)$--point functions. We consider several applications including the correlation functions for the Heisenberg vertex operator algebra and its modules, Virasoro correlation functions and genus two Ward identities. We derive novel differential equations in terms of a differential operator on the genus two Siegel upper half plane for holomorphic $1$--differentials, the normalised bidifferential of the second kind, the projective connection and the Heisenberg partition function. We prove that the holomorphic mapping from the sewing parameter domain to the Siegel upper half plane is injective but not surjective. We also demonstrate that genus two differential equations arising from Virasoro singular vectors have holomorphic coefficients.

研究动机与目标

• 将亏格一 Zhu 递推推广至由两个环面粘合而成的双亏格黎曼面，推广 VOAs 中关联函数的框架。
• 建立一个形式化的递推恒等式，通过依赖于共形权重的广义 Weierstrass 函数，将双亏格 n 点函数约化为 (n−1) 点函数。
• 证明递推中系数函数的解析性，特别是对 1- 和 2-微分的情形，并推导出如归一化双微分与射影联络等关键几何对象的解析微分方程。
• 证明由 Virasoro 奇异向量导出的微分方程具有解析系数，支持双亏格划分函数的收敛性与模性质。
• 分析粘合参数域的几何结构，证明其到 Siegel 上半平面的诱导映射是单射但非满射。

提出的方法

• 通过基于环面粘合的粘合程序，利用亏格一关联函数的无限形式级数构造双亏格关联函数。
• 定义依赖于共形权重 $N$ 的广义双亏格 Weierstrass 函数（如 $^N\mathcal{P}_1$, $^N\mathcal{P}_2$），用作递推系数。
• 对每个环面分量应用亏格一 Zhu 递推，然后求解所得递推恒等式系统，推导出双亏格递推公式。
• 在 Siegel 上半平面上使用微分算子 $\nabla_x$（推广 Serre 导数），表达关联函数的微分方程。
• 通过将其与解析微分形式及二阶归一化双微分关联，证明系数函数的解析性。
• 推导出 $^2\mathcal{P}_1$ 与 $^2\mathcal{P}_2$ 的闭合表达式，并证明其与 Riemann-Roch 维数对 $N$-微分的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将亏格一 Zhu 递推推广至由两个环面粘合而成的双亏格黎曼面？
• RQ2 广义 Weierstrass 函数 $^N\mathcal{P}_1(x,y)$ 与 $^N\mathcal{P}_2(x,y)$（$N \geq 1$）具有何种性质？它们是否解析？
• RQ3 由双亏格中 Virasoro 奇异向量导出的微分方程是否具有解析系数？
• RQ4 从粘合参数域到 Siegel 上半平面的映射具有何种几何性质？它如何影响关联函数的模性质？
• RQ5 能否证明 $C_2$-余有限 VOA 的双亏格划分函数满足一个解析微分方程？

主要发现

• 双亏格 Zhu 递推公式通过依赖于被约化向量共形权重 $N$ 的广义 Weierstrass 函数，将任意 $n$-点函数表示为 $(n-1)$-点函数的形式。
• 当 $N=1$ 时，1-点函数由 2 个系数函数表示；当 $N \geq 2$ 时，使用 $2N-1$ 个系数函数，其数量与 Riemann-Roch 定理给出的解析 $N$-微分空间维数一致。
• 对 $N=1$ 的系数函数，已证明其可表示为解析 1-微分与二阶归一化双微分的组合，因而为解析函数。
• 双亏格 Virasoro 1-点函数由划分函数对粘合参数的导数给出，且双亏格 Ward 恒等式中也包含相同的微分算子。
• 推导出 $N=2$ 广义 Weierstrass 函数的闭合解析表达式，证实了 Virasoro $n$-点函数与 Ward 恒等式中所有系数的解析性。
• 从粘合域 $\mathcal{D}_{\text{sew}}$ 到 Siegel 上半平面的映射被证明是单射但非满射。