[论文解读] Genus-zero and genus-one string amplitudes and special multiple zeta values

Don Zagier, Federico Zerbini|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2019

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一句话总结

本文通过证明 genus-one 2-point 幅值的贡献与 genus-zero 4-point 幅值的贡献之间存在特殊多重 zeta 值的线性组合关系，建立了微扰弦理论中 genus-zero 与 genus-one 弦幅值之间的深刻联系。关键结果是建立了 genus-one 模形式图函数生成函数与闭弦 Virasoro 幅值之间的新恒等式，证明其系数属于特殊多重 zeta 值的有理张量空间，并通过 Brown 的单值投影确认了一个猜想。

ABSTRACT

In this paper we show that in perturbative string theory the genus-one contribution to formal 2-point amplitudes can be related to the genus-zero contribution to 4-point amplitudes. This is achieved by studying special linear combinations of multiple zeta values that appear as coefficients of the amplitudes. We also exploit our results to relate closed strings to open strings at genus one using Brown's single-valued projection, proving a conjecture of Broedel, Schlotterer and the second author.

研究动机与目标

• 建立微扰弦理论中 genus-zero 与 genus-one 弦幅值之间的数学桥梁。
• 证明 genus-one 模形式图函数 Dℓ(τ) 的系数是有理线性组合的特殊多重 zeta 值 Z(k,r)。
• 通过 Brown 的单值投影将 genus one 时的闭弦幅值与开弦幅值关联，确认文献中的一个猜想。

提出的方法

• 作者将特殊多重 zeta 值 Z(k,r) 定义为对整数分解为 1 和 2 的组合的加权和，其系数取决于 1 的个数。
• 他们证明闭弦 Virasoro 幅值 V^(cl)(s,t,u) 的泰勒系数属于 Z(k,r) 的有理张量空间，使用了 Euler 对 log Γ(1+x) 的公式。
• 从描述 genus-one 幅值的洛朗多项式 dℓ(Y) 的系数出发，构建了一个生成函数 W^(cl)(X,Y)。
• 推导出关键恒等式 W^(cl)(X,Y) = V^(cl)(2X, -X-Y, Y-X) / [X(X+Y)(Y-X)]，将 genus-one 幅值与 genus-zero 幅值联系起来。
• 证明利用了黎曼曲面上格林函数及其指数形式 H 的度量无关性，后者在度量变换下保持不变。
• 应用多重 zeta 值的单值投影，将 genus one 时的开弦与闭弦幅值关联，确认了一个猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弦幅值的背景下，genus-one 模形式图函数 Dℓ(τ) 的系数如何与多重 zeta 值相关？
• RQ2 genus-one 对 2-point 幅值的贡献是否能通过特殊组合的多重 zeta 值表示为 genus-zero 4-point 幅值的形式？
• RQ3 Brown 的单值投影是否如猜想所示，为 genus one 时开弦与闭弦幅值提供一致的映射？
• RQ4 Dℓ(τ) 的渐近展开中洛朗多项式 dℓ(Y) 的系数 γn,k 是否为 Z(k,r) 值的有理线性组合？
• RQ5 闭弦幅值 V^(cl)(s,t,u) 的泰勒系数的向量空间的精确代数结构是什么？

主要发现

• genus-one 模形式图函数 Dℓ(τ) 的渐近展开中洛朗多项式 dℓ(Y) 的系数被证明是有理线性组合的特殊多重 zeta 值 Z(k,r)。
• dℓ(Y) 的系数 γn,k 的生成函数 W^(cl)(X,Y) 满足恒等式 W^(cl)(X,Y) = V^(cl)(2X, -X-Y, Y-X) / [X(X+Y)(Y-X)]，将 genus-one 幅值与 genus-zero 幅值联系起来。
• 闭弦幅值 V^(cl)(s,t,u) 的泰勒系数 e_{p,q} 属于由 Z(k,r) 值张成的有理向量空间，且两个空间在权重 w 下的维数均为 O(w)。
• 本文确认了一个猜想：genus-one 闭弦幅值可通过 Brown 的单值投影与 genus-zero 开弦幅值关联，从而在 genus one 时建立了开弦与闭弦之间的直接联系。
• 特殊多重 zeta 值 Z(k,r) 被证明与 Green、Russo 和 Vanhove 研究的非全纯模形式的首项中出现的值相同，提供了物理与数论上的一致性检验。
• 证明了由 V^(cl) 的系数 e_{p,q} 张成的向量空间 E_w 与由 Z(k,r) 张成的向量空间 D_w 均为奇数 zeta 值的权重-w 多项式空间的子空间，且两者在权重 w 下的维数均为 O(w)。