[论文解读] Geodesic cusp excursions and metric diophantine approximation

Andrew Haas|ArXiv.org|Sep 4, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 4

一句话总结

本文通过自守群建立了有限面积双曲2-轨道上测地线尖点穿行与度量丢番图逼近之间的几何联系。通过使用遍历理论与截面技术分析尖点邻域内穿行的渐近速率，推导出k-穿行与逼近k-穿行的精确渐近公式，证明其增长速率与曲面面积及函数A(k)成正比，从而恢复并推广了丢番图逼近中的经典结果。

ABSTRACT

We derive several results that describe the rate at which a generic geodesic makes excursions into and out of a cusp on a finite area hyperbolic surface and relate them to approximation with respect to the orbit of infinity for an associated Fuchsian group. This provides proofs of some well known theorems from metric diophantine approximation in the context of Fuchsian groups. It also gives new results in the classical setting.

研究动机与目标

• 建立有限面积双曲2-轨道上测地线穿行至尖点邻域与自守群轨道下丢番图逼近之间的几何对应关系。
• 推导典型测地线穿行至尖点邻域的渐近速率，表明其依赖于曲面的面积。
• 将几何结果应用于恢复并推广度量丢番图逼近中的著名定理，包括连分数逼近子的经典结果。
• 证明测地线上穿行的平均长度与逼近穿行的密度成反比，从而将几何量与数论量联系起来。

提出的方法

• 采用受Nakada与Stratmann启发的改进型截面技术，对测地流进行计数，以计算返回尖点邻域的次数。
• 将k-穿行定义为测地线与尖点邻域H_{1/k}的水平曲线相切的点，深度参数t_i标记每次穿行的起始位置。
• 应用测地流在T1S上的遍历理论，计算当t → ∞时，k-穿行与逼近k-穿行的渐近频率。
• 引入函数A(k) = k（当0 < k ≤ 1时），A(k) = 2 − k + 2 log k（当1 ≤ k ≤ 2时），该函数控制逼近穿行的渐近速率。
• 通过将穿行深度d(e_j)与逼近误差|x − p_j/q_j|的关系|x − p_j/q_j| = d(e_j)/(2q_j^2)联系起来，建立逼近k-穿行与连分数渐近子之间的对应关系。
• 利用万有覆盖中连续穿行点之间的双曲距离，推导出平均穿行长度，并将其与逼近误差的对数衰减联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限面积双曲2-轨道上，典型测地线穿行至尖点邻域的k-穿行的渐近速率如何？
• RQ2 逼近k-穿行的速率如何与曲面的几何结构及函数A(k)相关？
• RQ3 测地线穿行的几何行为能否用于恢复或推广度量丢番图逼近中的经典定理？
• RQ4 穿行的深度与连分数展开中有理逼近的质量之间有何关系？
• RQ5 测地线上穿行的平均长度如何与逼近误差的增长速率相关？

主要发现

• 对T1S中几乎所有单位向量v及0 < k ≤ 2，弧长t以内k-穿行的数量渐近增长为(k / (π · area(S))) · t。
• 弧长t以内逼近k-穿行的数量渐近增长为(A(k) / (π · area(S))) · t，其中A(k)为依赖于k的分段定义函数。
• 测地线上穿行的平均长度为π · area(S) / A*(2)，其等于逼近穿行渐近密度的倒数。
• 极限lim_{n→∞} (−1/n) log |x − p_n/q_n|存在，且等于π · area(S) / A*(2)，将逼近误差的衰减速率与曲面几何联系起来。
• 量θ_n(x) = 1 / (a_{n+1}^′ + q_{n-1}/q_n)满足limsup_{n→∞} (−log θ_n(x)) / log n = 1，这意味着逼近常数θ_n(x)的衰减慢于任何n的幂次。
• 满足a_n ≥ n log n对无穷多个n成立的实数x的集合具有全测度，通过几何方法确认了度量丢番图逼近中的一个经典结果。