[论文解读] Geodesic Deviation Equation In $f(Q)$-Gravity

Jing-Theng Beh, Tee‐How Loo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2021

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文使用场方程的协变形式，在 $f(Q)$-引力中推导了测地线偏离方程（GDE），将广义相对论的GDE扩展至对称平 Berger引力。它推广了Mattig关系，并为非均匀 $f(Q)$-引力模型中的宇宙学距离提出了类似Dyer-Roeder的方程，关键结果表明聚焦项受 $f''(Q)$ 和非度量性贡献的影响而发生修正。

ABSTRACT

In the present paper we study the Geodesic Deviation Equation (GDE) in the modified $f(Q)$-gravity theories. The formulation of GDE in General Relativity in the case of the homogeneous and isotropic Friedman-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) spacetime is briefly discussed and then extended in modified $f(Q)$-gravity using its covariant counterpart. The generalised Mattig relation is obtained. Finally, an equivalent expression to the Dyer-Roeder equation in General Relativity in the case of $f(Q)$-gravity is presented.

研究动机与目标

• 使用协变形式将广义相对论中的测地线偏离方程（GDE）扩展至 $f(Q)$-引力。
• 在弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）时空背景下，推导 $f(Q)$-引力中角直径距离的广义Mattig关系。
• 在 $f(Q)$-引力中提出一个类似Dyer-Roeder的方程，通过平滑参数 $\tilde{\alpha}(z)$ 考虑非均匀性。
• 分析非度量性和高阶 $f''(Q)$ 项对测地线聚焦及宇宙学距离测量的影响。

提出的方法

• 使用非度量张量 $Q_{\lambda\mu\nu}$ 和形变张量 $L^{\lambda}{}_{\mu\nu}$，建立 $f(Q)$-引力的协变场方程。
• 通过将黎曼曲率用非度量张量和列维-奇维塔联络表示，推导 $f(Q)$-引力中的GDE。
• 将GDE应用于具有基本观测者和向后指向的零测地线场的FLRW度规，以在宇宙学背景下建模测地线偏离。
• 利用 $f(Q)$-引力中的修正弗里德曼方程，将GDE转化为红移 $z$ 的微分方程。
• 引入质量分数参数 $\tilde{\alpha}(z)$ 以建模非均匀性，类比于广义相对论中的Dyer-Roeder方法。
• 通过将能量密度替换为 $\tilde{\alpha}\rho$ 并在聚焦项中引入 $f''(Q)$-依赖修正，获得 $f(Q)$-引力中的类似Dyer-Roeder方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 与广义相对论相比，$f(Q)$-引力中的测地线偏离方程如何推广？
• RQ2 在 $f(Q)$-引力中，角直径距离的广义Mattig关系形式为何？
• RQ3 在考虑非均匀性和非度量性时，$f(Q)$-引力中的Dyer-Roeder方程如何适应？
• RQ4 对 $f(Q)$ 函数的二阶导数，特别是 $f''(Q)$，在修正测地线聚焦和距离测量中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，$f(Q)$-引力的GDE会退化为标准广义相对论结果？

主要发现

• 使用非度量张量和形变形式，以协变形式推导出 $f(Q)$-引力中的测地线偏离方程，将广义相对论的框架扩展至对称平 Berger引力。
• 在 $f(Q)$-引力中获得的广义Mattig关系表现为红移 $z$ 的二阶微分方程，其系数依赖于 $\Omega_{m0}$、$\Omega_{\Lambda}$ 和 $f''(Q)$-依赖项。
• 在 $f(Q)$-引力中，类似Dyer-Roeder的方程包含一个修正的聚焦项，其形式为 $3\tilde{\alpha}(z)\Omega_{m0}(1+z)^3 - \frac{24\dot{H}f''}{f'}[\Omega_{m0}(1+z)^3 + \Omega_{DE}]$，反映了非度量性和修正引力效应。
• 在 $f(Q) = Q - 2\Lambda $ 的极限情况下，推导出的方程退化为广义相对论中的标准Dyer-Roeder和Mattig关系。
• 角直径距离 $D_A(z)$ 满足一个二阶常微分方程，初始条件为 $D_A(z_0) = 0$ 和 $dD_A/dz|_{z_0} = H_0 / [H(z_0)(1+z_0)]$，与 $f(Q)$-引力的修正弗里德曼方程一致。
• $f''(Q)$ 项的存在引入了对测地线聚焦行为的修正，改变了非均匀 $f(Q)$-引力模型中宇宙学距离测量的演化。