[论文解读] Geodesic flow on the Teichmueller disk of the regular octagon, cutting sequences and octagon continued fractions maps

John Smillie, Corinna Ulcigrai|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 17

一句话总结

本文建立了正八边形的Teichmüller圆盘上的测地线流与线性轨迹符号编码的连分数算法之间的几何联系。通过将该算法解释为Teichmüller圆盘上的重整化，作者构建了八边形Farey映射的自然扩张与不变测度，并定义了一个具有有限不变测度的加速八边形Gauss映射，从而在动力系统上完成了与模曲面测地线流和经典连分数的类比。

ABSTRACT

In this paper we give a geometric interpretation of the renormalization algorithm and of the continued fraction map that we introduced in arxiv:0905.0871 to give a characterization of symbolic sequences for linear flows in the regular octagon. We interpret this algorithm as renormalization on the Teichmueller disk of the octagon and explain the relation with Teichmueller geodesic flow. This connection is analogous to the classical relation between Sturmian sequences, continued fractions and geodesic flow on the modular surface. We use this connection to construct the natural extension and the invariant measure for the continued fraction map. We also define an acceleration of the continued fraction map which has a finite invariant measure.

研究动机与目标

• 建立正八边形Teichmüller圆盘上的测地线流与线性轨迹符号编码的连分数算法之间的动力对应关系。
• 将连分数算法解释为Teichmüller圆盘上的重整化，并将其与Teichmüller测地线流关联，类比模曲面上的经典情形。
• 通过测地线流的动力学构造八边形Farey映射的自然扩张并确定其不变测度（该测度为无限测度），并定义一个具有有限不变测度的加速映射（八边形Gauss映射）。
• 阐明八边形中线性流的符号动力学与Veech群及其在Teichmüller圆盘上相关镶嵌结构之间的关系。

提出的方法

• 将正八边形的Teichmüller圆盘定义为所有仿射变形（包括反向的）构成的空间，以建模该曲面的动力学。
• 利用八边形的Veech群在Teichmüller圆盘上构造一个镶嵌，该镶嵌是重整化过程的基础。
• 将[SU]中的连分数算法解释为Teichmüller圆盘上的重整化映射，通过曲面的动力学将其与Teichmüller测地线流联系起来。
• 通过将八边形Farey映射与Teichmüller轨道丛上的测地线流的截面相等化，构造其自然扩张。
• 将八边形Gauss映射定义为Farey映射的加速版本，以确保有限不变测度的存在。
• 证明在自然扩张定义域上，密度为 $ \frac{du\,dv}{(u-v)^2} $ 的测度是不变的，并通过纤维积分推导出八边形Gauss映射的不变测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Teichmüller测地线流几何地解释正八边形中线性轨迹符号编码的连分数算法？
• RQ2 八边形Farey映射与Teichmüller圆盘上测地线流之间的确切关系是什么？
• RQ3 如何利用测地线流的动力学构造八边形Farey映射的自然扩张及其不变测度？
• RQ4 Veech群及其在Teichmüller圆盘上的作用在支持重整化方案中起什么作用？
• RQ5 八边形Farey映射的加速（即八边形Gauss映射）如何产生有限不变测度，其测度密度是什么？

主要发现

• 八边形Farey映射的自然扩张被构造为定义在域 $ D_{\hat{G}} \subset \mathbb{R}\mathbb{P}^1 \times \mathbb{R}\mathbb{P}^1 $ 上的双射，保持密度为 $ \frac{du\,dv}{(u-v)^2} $ 的测度。
• 八边形Gauss映射被定义为Farey映射的加速版本，结果具有有限不变测度，其在斜率坐标下的密度由包含 $ \sqrt{2} $ 和 $ 1+\sqrt{2} $ 的分段表达式给出。
• 通过在纤维上积分自然扩张的密度，推导出八边形Gauss映射的不变测度，得到显式的分段密度表达式：$ \frac{du}{u - \cot(\gamma(7\pi/8))} - \frac{du}{1+\sqrt{2}-u} $，$ \frac{du}{1+\sqrt{2}-u} $，以及 $ \frac{du}{\sqrt{2}-u} $，分别对应于不同区间。
• 域 $ D_{\hat{G}} $ 允许两种分解（18）和（19），用于证明 $ \hat{G} $ 将 $ D_{\hat{G}} $ 映射到自身且为双射。
• 通过将集合分解为 $ \hat{G} $ 的原像并利用其逆分支为分式线性变换的事实，证明了 $ \hat{G} $ 保持测度 $ \frac{du\,dv}{(u-v)^2} $。
• 该构造证实八边形Gauss映射具有有限不变测度，类似于经典Gauss映射，从而在动力系统上完成了与模曲面情形的类比。