[论文解读] Geography of symplectic 4- and 6-manifolds

Rafael Torres, Jonathan Yazinski|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文通过使用辛和与已知的极小辛4-和6-流形作为积木，建立了具有指定基本群和特征数的极小辛4-和6-流形的存在性。该研究扩展了先前的地理学结果，构造出具有任意基本群的示例，并在6维中实现了所有允许的陈数三元组。

ABSTRACT

The geography of minimal symplectic 4-manifolds with arbitrary fundamental group and symplectic 6-manifolds with abelian fundamental group of small rank, and with arbitrary fundamental group are addressed.

研究动机与目标

• 将辛地理学问题扩展到具有任意基本群的非单连通4-流形。
• 解决具有阿贝尔或小秩任意基本群的辛6-流形的地理学问题。
• 通过辛和技巧构造具有指定特征数和基本群的极小辛4-流形。
• 通过爆破和辛和构造在辛6-流形中实现所有允许的陈数三元组。
• 证明具有有限基本群的辛4-流形上存在奇异微分结构。

提出的方法

• 使用辛和与具有受控欧拉示性数和亏格的积木构造基本群为$G$的极小辛4-流形$M(G)$。
• 利用极小辛4-流形$BK$作为基础，其中$c_2(BK) = 4(g+r)$，$\tau(BK) = 0$，且$\rho_1(BK) \to G$，以构建$X_1(G)$。
• 通过沿环面或亏格为二的曲面进行辛和构造，从4-流形与$S^2$、$T^2$或$Σ_2$的积构造6-流形$W_i(G)$。
• 通过在与辛曲面不相交的点上进行爆破，实现6-流形中$c_1c_2$的所有可能取值。
• 利用关于同胚和不变量的已知结果（例如Boyer、Taubes、Kotschick）确保不可约性与微分结构的区分。
• 通过引理22和引理24验证陈数计算，依赖于辛和下特征类的可加性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将辛地理学问题扩展到具有任意基本群的极小辛4-流形？
• RQ2 具有阿贝尔或任意基本群的辛6-流形的陈数受到什么约束？
• RQ3 所有允许的陈数三元组$(c_1^3, c_1c_2, c_3)$是否都能在具有给定基本群的辛6-流形中实现？
• RQ4 具有有限基本群的辛4-流形是否具有奇异微分结构？
• RQ5 辛和与爆破在实现高维辛流形中特征数全范围的过程中起什么作用？

主要发现

• 对于任意有限生成群$G$（具有$g$个生成元和$r$个关系），存在一个极小辛4-流形$M(G)$，满足$\rho_1(M(G)) \to G$，$c_1^2 = 2e+3\tau+4(g+r)$，且$χ_h = \frac{1}{4}(e+\tau)+(g+r)$，其中$2e+3\tau \geq 0$，$e+\tau \equiv 0 \pmod{4}$，且$e+\tau \geq 8$。
• 若$G$为有限群，则$M(G)$具有奇异微分结构，此结论由Boyer和Kotschick的同胚结果所证明。
• 对于任意$n \in \mathbb{N}$和$s \geq 1$，存在一个自旋辛4-流形$X(G)$，满足$(c_1^2, \chi_h) = (8n-8+8(g+r), 2s+n-1+(g+r))$，并存在一个无限族$\{X_m(G)\}$，其中各成员彼此不同胚但同胚于$X(G)$。
• 通过4-流形积与$S^2$、$T^2$或$Σ_2$的辛和构造了具有基本群$G$和指定陈数的辛6-流形$W_0(G), W_1(G), W_2(G)$。
• 所有满足$a \equiv c \equiv 0 \pmod{2}$，$b \equiv 0 \pmod{24}$的三元组$(a,b,c) \in \mathbb{Z}^3$，均可作为具有任意有限生成基本群$G$的辛6-流形的陈数实现。
• 通过在与辛亏格二曲面不相交的点上进行爆破，实现了所有可能的$c_1c_2$取值，且该构造确保$c_1^3$与$c_3$可取遍所有偶数。