[论文解读] Geometric Algorithms with Limited Workspace: A Survey

Bahareh Banyassady, Matias Korman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 51被引用 3

一句话总结

本综述全面概述了在受限工作空间模型下的几何算法，该模型中输入为只读，且仅提供少量次线性工作空间。它详细介绍了压缩栈框架和时间-空间权衡等技术，实现了对可见区域计算和公共切线检测等任务的近似最优性能，且仅使用常数或次线性空间。

ABSTRACT

In the limited workspace model, we consider algorithms whose input resides in read-only memory and that use only a constant or sublinear amount of writable memory to accomplish their task. We survey recent results in computational geometry that fall into this model and that strive to achieve the lowest possible running time. In addition to discussing the state of the art, we give some illustrative examples and mention open problems for further research.

研究动机与目标

• 提供对受限工作空间模型下近期几何算法进展的统一概述，该模型中仅提供少量可写内存。
• 识别并分析核心算法技术（如压缩栈框架），以实现在最小工作空间下的高效计算。
• 探索基本几何问题的时间-空间权衡，包括可见区域、凸包和公共切线。
• 突出内存受限设备（如传感器、无人机和智能手机）在设计高效算法方面存在的开放问题和研究方向。
• 弥合计算复杂性与流式模型中的理论洞见与实际几何算法设计在空间约束下的联系。

提出的方法

• 本文综述了工作空间大小为 $ s = O(1) $ 至 $ s = o(n) $ 的算法，仅使用只读输入和少量可写内存。
• 引入压缩栈框架，该框架仅显式存储栈的一部分，按需重新计算缺失部分，从而为基于栈的算法实现时间-空间权衡。
• 对于 $k$-可见区域计算等问题，本文基于 $k$-选择算法使用时间-空间权衡，实现 $ O\big{(}(k+c)n/s + n/\log s\big{)} $ 时间复杂度，使用 $ s $ 个工作空间单元。
• 计算公共切线的方法采用简单但精巧的基于循环的算法，以 $ O(n) $ 时间复杂度和 $ O(1) $ 工作空间运行，依赖于不相交凸包的几何性质。
• 该框架被扩展以处理简单多边形中的边到边可见性和最小路径，使用常数工作空间和 $ O(nm) $ 时间复杂度，其中 $ m $ 为输出大小。
• 也考虑了随机化算法，允许使用无限多随机位，但若需重新访问，则必须将它们存储在工作空间中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种最小工作空间大小 $ s $ 下，点在多边形中的可见区域可在线性时间内计算？
• RQ2 压缩栈框架能否推广到其他数据结构（如队列、双端队列或树）？
• RQ3 是否可能仅使用 $ O(1) $ 工作空间单元，在 $ O(n) $ 时间内计算两个非相交多边形的外公共切线？
• RQ4 如何为 $k$-可见区域计算优化时间-空间权衡，特别是当 $ s $ 在 $ \log n $ 和 $ n $ 之间取中间值时？
• RQ5 在受限工作空间模型下，确定性和随机化算法在经典几何问题上的基本极限是什么？

主要发现

• 压缩栈框架实现了时间-空间权衡：对于运行时间为 $ O(n) $ 的基于栈的算法，新算法在 $ s = o(\log n) $ 时运行时间为 $ O(n^2 \log n / 2^s) $，在 $ s \geq \log n $ 时运行时间为 $ O(n^{1+1/\log s}) $。
• 对于 $ k $-可见区域计算，通过使用 $ s $ 个工作空间单元，实现了 $ O\big{(}(k+c)n/s + n\log s\big{)} $ 的时间-空间权衡，其中 $ c $ 为关键顶点的数量。
• 对于具有 $ n $ 个顶点的两个不相交多边形，其公共切线可在 $ O(n) $ 时间和 $ O(1) $ 工作空间内计算，采用基于循环的简单算法并辅以精巧的几何分析。
• 简单多边形中边的弱可见区域可在 $ O(nm) $ 时间内使用常数工作空间计算，其中 $ m $ 为输出大小。
• 基于边到边可见性算法，两点间最小路径可在 $ O(n^2) $ 时间内使用常数工作空间计算。
• 对于 $ s = n^\varepsilon $（任意固定的 $ \varepsilon > 0 $），可见区域可在 $ O(n) $ 时间内计算，表明线性时间在次线性工作空间下是可实现的。