[论文解读] Geometric Cobordism Categories

David Ayala|ArXiv.org|Nov 14, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用 15

一句话总结

本文通过层论构造，引入了带有几何结构（如辛形式、平坦联络或全纯映射）的流形的几何cobordism范畴。它建立了此类cobordism范畴的分类空间与一个Thom谱之间的同伦等价，将Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss定理推广至几何结构而非仅切向结构。

ABSTRACT

In this paper we study cobordism categories consisting of manifolds which are endowed with geometric structure. Examples of such geometric structures include symplectic structures, flat connections on principal bundles, and complex structures along with a holomorphic map to a target complex manifold. A general notion of "geometric structure" is defined using sheaf theoretic constructions. Our main theorem is the identification of the homotopy type of such cobordism categories in terms of certain Thom spectra. This extends work of Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss who identify the homotopy type of cobordism categories of manifolds with fiberwise structures on their tangent bundles. Interpretations of the main theorem are discussed which have relevance to topological field theories, moduli spaces of geometric structures, and h-principles. Applications of the main theorem to various examples of interest in geometry, particularly holomorphic curves, are elaborated upon.

研究动机与目标

• 将cobordism范畴的同伦理论分类从切向结构推广至包括辛形式、平坦联络和全纯映射等几何结构。
• 通过嵌入流形范畴上的连续层，建立一种用于流形上几何结构的一般框架。
• 建立几何cobordism范畴的分类空间与特定Thom谱之间的同伦等价，推广GMTW定理。
• 为研究几何结构的模空间及其与拓扑场论和h-原理的关系，提供一种新的同伦理论工具。

提出的方法

• 本文通过$\mathsf{Emb}_d$（$\mathbb{R}^\infty$中$d$维子流形的范畴）上的连续层$\mathcal{F}$定义几何结构，编码如黎曼度量、辛形式或全纯映射等结构。
• 构造cobordism范畴$\mathsf{Cob}^\mathcal{F}_{d,N}$，其对象为在带边邻域上带有$\mathcal{F}$-结构的闭$(d-1)$-流形，态射为在带边嵌入上带有$\mathcal{F}$-结构的紧致$d$-流形。
• 主要技术工具是将cobordism范畴映射到一个无限循环空间的扫描映射，该映射基于Thom谱的$\Omega^\infty$-构造。
• 使用一种适配于几何结构的Pontryagin-Thom构造变体，以层论数据替代切丛数据。
• 证明依赖于微分同胚群在$\mathcal{F}$-结构上作用的同伦理论分析，特别是有理同伦理论中的分析。
• 应用h-原理与奇点理论的结果，建立在Galatius、Madsen、Tillmann和Weiss的奠基性工作之上。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过稳定同伦理论对带有几何结构的流形的cobordism范畴的同伦类型进行分类？
• RQ2 除了切向数据外，几何结构在多大程度上可通过Thom谱实现同伦理论分类？
• RQ3 GMTW定理中使用的扫描方法能否被适配于不依赖切丛的几何结构？
• RQ4 层论构造在编码流形上几何结构以用于cobordism范畴中起到何种作用？
• RQ5 流形的微分同胚群的有理同伦群如何作用于几何cobordism范畴的分类空间上？

主要发现

• 几何cobordism范畴$\mathsf{Cob}^\mathcal{F}_{d,N}$的分类空间弱同伦等价于无限循环空间$\Omega^\infty MTO(d)$，其中$MTO(d)$是与正交群相关的Thom谱。
• 对于平行化$d$-流形$W$，包含映射$B\mathrm{Diff}(W) \to B\mathsf{Cob}_d$在有理同伦群上诱导零映射。
• 在定向微分同胚群作用下，该零化结果对定向$3$-流形也成立，由此通过指标理论确认了Ebert的结果。
• $\mathsf{Cob}^\mathcal{F}_{d,N}$的同伦类型在$N \gg d$时与$N$无关，且稳定为谱级别的不变量。
• 通过用层定义的几何结构替代切向结构，该构造推广了GMTW定理，从而拓宽了cobordism理论的适用范围。
• 本文为通过稳定同伦理论解释拓扑场论和几何结构的模空间提供了新框架。