[论文解读] Geometric Computations on Indecisive and Uncertain Points

Allan Grønlund Jørgensen, Maarten Löffler+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2012

Data Management and Algorithms参考文献 50被引用 10

一句话总结

本文提出了高效算法，用于在不确定或犹豫不决的点上计算几何形状拟合分布，其中每个点具有有限个可能位置及其相关概率。该文提出一种针对一般不确定数据的随机近似算法，并针对使用形状包含概率（SIP）函数的犹豫不决点上的LP型问题，提出一种确定性、精确的多项式时间算法。

ABSTRACT

We study computing geometric problems on uncertain points. An uncertain point is a point that does not have a fixed location, but rather is described by a probability distribution. When these probability distributions are restricted to a finite number of locations, the points are called indecisive points. In particular, we focus on geometric shape-fitting problems and on building compact distributions to describe how the solutions to these problems vary with respect to the uncertainty in the points. Our main results are: (1) a simple and efficient randomized approximation algorithm for calculating the distribution of any statistic on uncertain data sets; (2) a polynomial, deterministic and exact algorithm for computing the distribution of answers for any LP-type problem on an indecisive point set; and (3) the development of shape inclusion probability (SIP) functions which captures the ambient distribution of shapes fit to uncertain or indecisive point sets and are admissible to the two algorithmic constructions.

研究动机与目标

• 解决当输入点不确定或犹豫不决时，计算几何输出完整概率分布的挑战。
• 开发实用且高效的表示和查询不确定环境下几何问题解分布的方法。
• 识别在不确定几何数据上进行精确和近似计算的可 tractable 条件。
• 引入形状包含概率（SIP）函数，作为解分布的紧凑且查询高效的表示方法。

提出的方法

• 提出一种随机近似算法，通过从可能配置的有限集合中采样，估计不确定点集上任意统计量的分布。
• 通过枚举所有可能基并使用完整违反测试计算权重，为犹豫不决点上的LP型问题提出一种确定性、精确的算法。
• 使用SIP函数表示在不确定点的随机配置下，查询形状被包含在解形状中的概率。
• 使用平面剖分和排列结构构建数据结构，支持对SIP查询的对数时间高效计算。
• 将该框架应用于最小包围圆等LP型问题，其组合维度为常数。
• 通过特定调用理论结果，将该方法扩展至连续不确定点集的$\u0000$-SIP函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输入点不确定或犹豫不决时，我们能否计算出几何输出（如形状参数）的完整概率分布？
• RQ2 哪些类别的几何问题允许在不确定条件下高效且精确地计算解分布？
• RQ3 我们如何紧凑且高效地表示和查询解形状的分布？
• RQ4 在计算不确定几何数据的分布时，近似与精确性之间的权衡是什么？
• RQ5 是否存在针对犹豫不决点上复杂几何形状分布计算的多项式时间算法？

主要发现

• 提出一种随机近似算法，用于计算不确定数据集上任意统计量的分布，具备实际可扩展性。
• 为犹豫不决点上的LP型问题开发了一种确定性、精确的多项式时间算法，时间复杂度为$O((nk)^{\beta+1})$，空间复杂度为$O((nk)^{\beta})$，其中$n$为点的数量，$k$为每一点的可能位置数，$\beta$为组合维度。
• 形状包含概率（SIP）函数实现了对解分布的紧凑表示，并支持在$O(\text{poly}(nk))$时间内进行精确查询。
• 通过平面剖分优化SIP查询的数据结构，实现$O(\text{poly}(nk))$的预处理时间和$O(\text{polylog}(nk))$的查询时间。
• 直径问题即使仅计算输出分布的单个值，也被证明是#P-难的，表明某些问题具有固有的不可解性。
• 该框架可扩展至连续不确定点集的$\u0000$-SIP函数，实现在特定不确定性模型下的确定性近似。