[论文解读] Geometric extension of put-call symmetry in the multiasset setting

Ilya Molchanov, Michael Schmutz|ArXiv.org|Jun 27, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文通过几何概率将期权平价对称性推广至多资产期权，引入提升多面体（lift zonoids）以表示资产价格分布。研究证明，在幂变换下具有自对偶性的分布可实现多资产障碍期权与篮子期权的半静态对冲，关键结果表明：在 Lévy 驱动模型中，反射与缩放对称性可保持期权定价关系不变。

ABSTRACT

In this paper we show how to relate European call and put options on multiple assets to certain convex bodies called lift zonoids. Based on this, geometric properties can be translated into economic statements and vice versa. For instance, the European call-put parity corresponds to the central symmetry property, while the concept of dual markets can be explained by reflection with respect to a plane. It is known that the classical univariate log-normal model belongs to a large class of distributions with an extra property, analytically known as put-call symmetry. The geometric interpretation of this symmetry property motivates a natural multivariate extension. The financial meaning of this extension is explained, the asset price distributions that have this property are characterised and their further properties explored. It is also shown how to relate some multivariate asymmetric distributions to symmetric ones by a power transformation that is useful to adjust for carrying costs. A particular attention is devoted to the case of asset prices driven by Lévy processes. Based on this, semi-static hedging techniques for multiasset barrier options are suggested.

研究动机与目标

• 通过几何概率与凸几何方法，将单变量期权平价对称性推广至多资产衍生品。
• 通过幂变换下的自对偶分布概念，刻画具有期权平价对称性的多元分布。
• 利用几何对称性，为多资产障碍期权与篮子期权开发半静态对冲策略。
• 通过提升多面体将金融期权定价与凸体理论相联系，实现金融衍生品的几何解释。

提出的方法

• 使用提升多面体——即随机向量 (1, η) 的支撑函数的期望——以几何方式表示多资产收益 η 的分布。
• 应用止损变换，将期权收益与凸体的支撑函数联系起来。
• 通过幂变换实现的反射与缩放变换，识别在多资产情形下保持期权平价对称性的自对偶分布。
• 在条件 (6.1) 对 α ≠ 1 成立时，通过利用对称性推导出半静态对冲策略，实现通过标准期权组合的复制。
• 利用随机集的 Aumann 期望定义提升多面体，其唯一确定 η 的分布。
• 若 (6.1) 对 α₁ 与 α₂ 均成立，则对冲策略可调整为持有经变换的价差期权多头与对应对偶的空头。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过几何与概率工具将单变量情形下的期权平价对称性推广至多资产期权？
• RQ2 哪些多元分布可实现期权平价对称性的几何推广？其特征是什么？
• RQ3 如何利用对称性性质为多资产障碍期权与篮子期权构建半静态对冲策略？
• RQ4 Lévy 过程在多资产情形下对期权平价对称性的保持或扩展中起何作用？
• RQ5 能否通过幂变换将非对称的多元分布与对称分布关联起来？这对对冲有何影响？

主要发现

• 随机向量 η 的提升多面体唯一确定其分布，从而实现多资产期权定价的几何表示。
• 期权平价对应于提升多面体的中心对称性，而对偶市场则源于超平面上的反射。
• 在幂变换下具有自对偶性的分布（如 (6.1) 中 α ≠ 1）可在多资产情形下实现对称的期权定价与对冲。
• 可通过变换后的收益 (S_Ti / H)^{α-1} 乘以资产价格的线性组合，构建敲入篮子期权的半静态对冲，其中空头头寸保持不变。
• 对于障碍期权，可在触及障碍时动态调整对冲策略，利用对称性 (6.2) 无损失地交换头寸。
• 该方法在 Lévy 过程下依然有效，即使存在跳跃，只要幂变换条件 (6.1) 成立，即可实现稳健的对冲策略。