[论文解读] Geometric flows and Strominger systems

D. H. Phong, Sébastien Picard+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文引入了异常流（Anomaly flow），这是一种在3维复流形上(2,2)-形式上的几何流，可保持Hermitian度量的平衡条件，其平衡点解出Strominger系统。利用Hamilton的Nash-Moser隐函数定理，作者证明了当弦张力参数$\alpha^\prime$较小时解的短时存在性，为异质弦紧化中非Kähler Calabi-Yau方程与Hermitian-Einstein方程提供了一种新颖的抛物方法。

ABSTRACT

A geometric flow on $(2,2)$-forms is introduced which preserves the balanced condition of metrics, and whose stationary points satisfy the anomaly equation in Strominger systems. The existence of solutions for a short time is established, using Hamilton's version of the Nash-Moser implicit function theorem.

研究动机与目标

• 开发一种几何流，使其在具有全纯3-形式的3-流形上保持Hermitian度量的平衡条件。
• 为求解异质弦紧化中的关键方程——Strominger系统，提供一种抛物方法。
• 利用高级分析工具（特别是Nash-Moser隐函数定理）建立解的短时存在性。
• 统一并推广非Kähler几何中Fu-Yau方程及相关异常方程的已有解。

提出的方法

• 异常流被定义为通过$\partial_t(\|\Omega\|_\omega \omega^2) = i\partial\bar{\partial}\omega - \frac{\alpha^\prime}{4}(\mathrm{Tr}(R\wedge R) - \mathrm{Tr}(F\wedge F))$作用于(2,2)-形式的流，保持平衡条件。
• 通过其曲率将该流重新表述为Hermitian度量的流，从而可借助几何PDE技术进行分析。
• 利用Hamilton版本的Nash-Moser隐函数定理证明了解的短时存在性。
• 在某种假设下，该流被证明等价于一个关于共形因子$u$的标量抛物型PDE，从而将系统简化为单个演化方程。
• 该流的椭圆性由条件$e^u\omega_S + \alpha^\prime e^{-u}\rho + \alpha^\prime i\partial\bar{\partial}u > 0$刻画，确保其抛物性。
• 该流被应用于Goldstein-Prokushkin纤维化结构，在后续工作中证明了当$\alpha^\prime > 0$和$\alpha^\prime < 0$时均收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种几何流，使其保持平衡条件，且其平衡点解出Strominger系统？
• RQ2 当弦张力参数$\alpha^\prime$取小值时，异常流是否具有短时解？
• RQ3 该流能否通过曲率演化重新表述为Hermitian度量的流，从而实现标准PDE分析？
• RQ4 确保异常流抛物性的椭圆性条件是什么？
• RQ5 该流能否为已知的Fu-Yau方程及相关异常方程的解提供统一的框架？

主要发现

• 若初始度量满足平衡条件，则异常流在所有时间$t$上均保持平衡条件$d(\|\Omega\|_\omega \omega^2) = 0$。
• 利用Nash-Moser隐函数定理，证明了当$\alpha^\prime$较小时存在光滑解的短时存在性。
• 该流等价于关于共形因子$u$的标量抛物型PDE，其形式为$\partial_t u = \frac{e^{-u}}{2}\left(\Delta e^u + \alpha^\prime \sigma_2(i\partial\bar{\partial}u) - 2\alpha^\prime \frac{i\partial\bar{\partial}(e^{-u}\rho)}{\omega_S^2} + \tilde{\mu}\right)$。
• 该流的椭圆性等价于条件$e^u\omega_S + \alpha^\prime e^{-u}\rho + \alpha^\prime i\partial\bar{\partial}u > 0$，该条件由$|\alpha^\prime Rm|_{\omega_u} \ll 1$所蕴含。
• $|\alpha^\prime Rm|_{\omega_u} \ll 1$的条件蕴含短时存在性，为Nash-Moser方法的应用提供了定量判据。
• 后续工作证实，在Goldstein-Prokushkin纤维化结构上，异常流对$\alpha^\prime > 0$和$\alpha^\prime < 0$均收敛，统一了先前的结果。