[论文解读] Geometric generation of the wrapped Fukaya category of Weinstein manifolds and sectors

Baptiste Chantraine, Georgios Dimitroglou Rizell+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用 39

一句话总结

本文证明了任意 $2n$-维 Weinstein流形或扇形的包裹型Fukaya范畴，其几何生成元为其中指数为$n$的临界点的拉格朗日子核平面，方法基于Floer上同调的手术公式，以及与同调性骨架不相交的拉格朗日子流形的Floer上同调消失。作为关键推论，本文证实了Seidel的猜想：从Hochschild同调到辛上同调的开-闭映射是同构。

ABSTRACT

We prove that the wrapped Fukaya category of any $2n$-dimensional Weinstein manifold (or, more generally, Weinstein sector) $W$ is generated by the unstable manifolds of the index $n$ critical points of its Liouville vector field. Our proof is geometric in nature, relying on a surgery formula for Floer cohomology and the fairly simple observation that Floer cohomology vanishes for Lagrangian submanifolds that can be disjoined from the isotropic skeleton of the Weinstein manifold. Note that we do not need any additional assumptions on this skeleton. By applying our generation result to the diagonal in the product $W imes W$, we obtain as a corollary that the open-closed map from the Hochschild homology of the wrapped Fukaya category of $W$ to its symplectic cohomology is an isomorphism, proving a conjecture of Seidel. We work mainly in the "linear setup" for the wrapped Fukaya category, but we also extend the proofs to the "quadratic" and "localisation" setup. This is necessary for dealing with Weinstein sectors and for the applications.

研究动机与目标

• 建立Weinstein流形与扇形的包裹型Fukaya范畴的几何生成性，且不依赖于同调性骨架的假设。
• 提供一种直接的几何证明，避免依赖分裂生成准则或不完备的分析工具。
• 通过$W \times W$中的对角线，证明Seidel关于开-闭映射为同构的猜想。
• 将结果从线性情形推广至二次与局部化情形，以支持扇形与乘积结构的应用。

提出的方法

• 使用Floer上同调的手术公式，将拉格朗日子流形的变化与Floer上同调群的变化联系起来。
• 应用几何观察：当拉格朗日子流形与同调性骨架不相交时，其Floer上同调消失，且该结论无需对骨架施加额外假设。
• 通过一列缩放哈密顿量及由Liouville流诱导的微分同胚，构造连续映射与精确拉格朗日浸入的包裹型Floer上同调。
• 采用一族微分同胚$\psi_{s_0, \log w}$与缩放函数$f_{s_0, \log w}$，定义包裹型Floer复形之间的态射，通过最大值原理保持紧致性。
• 通过使用分裂哈密顿量与Floer复形的自然同构，将构造适配至二次与局部化情形。
• 将生成性结果应用于乘积Weinstein流形$W \times W$中的对角线$\Delta$，以推导开-闭映射的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设同调性骨架性质的前提下，Weinstein流形的包裹型Fukaya范畴能否由其指数为$n$的临界点的不稳定流形几何生成？
• RQ2 当包裹型Fukaya范畴由子核平面生成时，从Hochschild同调到辛上同调的开-闭映射是否成为同构？
• RQ3 如何将包裹型Fukaya范畴的线性构造推广至二次与局部化情形，以处理扇形与乘积结构？
• RQ4 是否存在一种几何证明，避免使用分裂生成准则，而依赖于与骨架不相交的拉格朗日子流形的Floer上同调消失性？
• RQ5 能否通过子核圆盘的乘积生成$W \times W$中的对角线，从而证明Seidel的猜想？

主要发现

• 任意$2n$-维Weinstein流形的包裹型Fukaya范畴由其指数为$n$的临界点的拉格朗日子核平面几何生成。
• Weinstein扇形的包裹型Fukaya范畴由其完备化中的子核平面以及其束带子核平面的延拓生成。
• 从Hochschild同调到辛上同调的开-闭映射是同构，证实了Seidel的一个猜想。
• 在分裂哈密顿量包裹构造下，$W \times W$中的对角线拉格朗日子流形由$W$的子核圆盘的乘积生成。
• 该证明可推广至二次与局部化情形，从而支持扇形与乘积结构的应用。
• 与同调性骨架不相交的拉格朗日子流形的Floer上同调消失性具有普遍性，无需对骨架施加额外假设。