[论文解读] Geometric Hydrodynamics of Compressible Fluids

Boris Khesin, Gerard Misiołek+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文将可压缩流体动力学及相关系统表述为无限维流形上的牛顿方程——具体而言，是在微分同胚群和概率密度空间上，借助几何力学。通过在拉格朗日框架中引入势能，该研究利用Madelung变换和哈密顿约化，统一了可压缩流体、磁流体动力学、浅水方程以及Fisher信息几何，揭示了不同水动力系统之间深层的结构联系。

ABSTRACT

We develop a geometric framework for Newton's equations on infinite-dimensional configuration spaces to describe numerous fluid dynamical equations. According to V. Arnold, the Euler equations of an incompressible fluid define a geodesic flow on the group of volume-preserving diffeomorphisms of a compact manifold. It turns out that a much greater variety of hydrodynamical systems can be viewed as Newton's equations (adding a potential energy to the kinetic energy Lagrangian) on the group of all diffeomorphisms and the space of smooth probability densities. This framework encompasses compressible fluid dynamics, shallow water equations, Fisher information geometry, compressible and incompressible magnetohydrodynamics and can be adapted to include relativistic fluids and the infinite-dimensional Neumann problem. Relations between these diverse systems are described using the Madelung transform and the formalism of Hamiltonian and Poisson reduction.

研究动机与目标

• 将V. Arnold对不可压缩流体流动的几何表述推广至可压缩流体及相关流体系统。
• 在单一几何框架下统一多种水动力学方程，如可压缩流体、浅水方程和磁流体动力学。
• 通过Madelung变换和哈密顿/Poisson约化技术，建立这些系统之间的联系。
• 将该框架推广至相对论性流体和无限维Neumann问题。

提出的方法

• 将流体动力学表述为在微分同胚群和光滑概率密度空间上的无限维流形上的牛顿方程。
• 在这些配置空间上构造包含动能和势能项的拉格朗日量。
• 应用Madelung变换，将几何表述与类量子力学及信息几何结构联系起来。
• 利用哈密顿约化和Poisson约化技术，推导并关联不同流体系统中的方程。
• 采用无限维黎曼几何的形式语言，描述微分同胚群上的测地流。
• 通过适当的几何约束，将该框架扩展至相对论性流体和Neumann问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 可压缩流体动力学如何可被描述为在无限维流形上的测地流？
• RQ2 支撑可压缩流体、浅水方程和磁流体动力学之间联系的几何结构是什么？
• RQ3 Madelung变换如何将几何表述与信息几何及类量子系统统一起来？
• RQ4 哈密顿约化和Poisson约化技术以何种方式揭示了不同水动力学方程之间的结构关系？
• RQ5 该几何框架能否被推广以包含相对论性流体和边界值问题（如Neumann问题）？

主要发现

• 可压缩流体的Euler方程作为测地流出现在微分同胚群上，其特定黎曼度量由动能拉格朗日量导出。
• 该框架通过微分同胚群和概率密度上的共同几何结构，统一了可压缩与不可压缩流体、浅水方程以及磁流体动力学。
• Madelung变换在几何表述与Fisher信息几何之间架起桥梁，揭示了隐藏的对称性与对偶性。
• 哈密顿约化与Poisson约化技术系统性地关联了不同流体系统中的运动方程，阐明了其共同的几何起源。
• 该形式语言自然地扩展至相对论性流体和无限维Neumann问题，展现出广泛的适用性。